Devoir de maths corrigé, suites numériques
Première générale, spécialité mathématiques
Devoir de mathématiques, et corrigé, sur les suites numériques, posé en spé maths, première générale, année scolaire 2023/2024
Exercice 1: Suite récurrente, construction graphique des premiers termes
On considère la fonction définie sur par l'expression
.
On définit à partir de cette fonction la suite définie par et, pour tout entier , .
On considère la fonction définie sur par l'expression .
On définit à partir de cette fonction la suite définie par et, pour tout entier , .
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On définit à partir de cette fonction la suite définie par et, pour tout entier , .
- Donner une valeur approchée de .
- Étudier le sens de variation de .
- Tracer l'allure de la courbe représentative de dans un repère orthonormal (unité graphique 2cm, ou 2 carreaux).
Construire sur ce graphique les points , , et d'ordonnées nulles et d'absisses , ,…,.
- Quelle conjecture peut-on faire quant-à la valeur limite de cette suite ? Calculer la valeur exacte de cette limite éventuelle.
Correction exercice 1
On considère la fonction définie sur par l'expression .
On définit à partir de cette fonction la suite définie par et, pour tout entier , .
-
On a avec donc et soit avec
donc et alors soit .
On a alors , soit
On a et donc
On trace alors l'allure de la courbe et sur le graphique la droite d'équation et on construit les points demandés sur l'axe des abscisses.
- La suite semble tendre vers 0, l'abscisse d'un des points d'intersection entre la courbe de et la droite d'équation .
L'abscisse de ce point vérifie dont l'équation
qui est un produit nul, donc soit , soit
soit encore .
Comme la suite semble décroissante, la limite ne pourrait être que la première solution 0.
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Exercice 2: Suite récurrente et suite auxiliaire arithmétique
On considère la suite numérique définie par et, pour tout entier naturel , par .
On définit aussi la suite pour tout entier naturel par
.
On considère la suite numérique définie par et, pour tout entier naturel , par . On définit aussi la suite pour tout entier naturel par .
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- Calculer , et .
- Démontrer que est une suite arithmétique, dont on donnera la raison.
- En déduire l'expression de , puis celle de en fonction de .
Correction exercice 2
On considère la suite numérique définie par et, pour tout entier naturel , par . On définit aussi la suite pour tout entier naturel par .
- .
, avec
, avec et donc
-
ainsi la suite est arithmétique de raison .
- On en déduit que, pour tout entier ,
.
Ensuite, comme , on trouve finalement l'expression
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Voir aussi: