Devoir corrigé de maths en Première générale, spécialité mathématiques

Fonctions, suites numériques et une variable aléatoire

Devoir de mathématiques, et corrigé, sur les fonctions, exponentielle, suites numériques et variable aléatoire, posé en spé maths, première générale, année scolaire 2023/2024

Exercice 1: Calculs de dérivées de fonctions

Calculer la fonction dérivée des fonctions $f$, $g$ et $h$ définies par les expressions suivantes: $f(x)=\cos(2x-3)$, $g(x)=\sqrt{-2x^2+1}$ et $h(x)=xe^{-3x^2}$
Correction exercice 1
On a $f=\cos(u)$ avec $u(x)=2x-3$ donc $u'(x)=2$
et alors $f'=-u'\sin(u)$ soit $f'(x)=-2\sin(2x-3)$


On a $g=\sqrt{u}$ avec $u(x)=-2x^2+1$ donc $u'(x)=-4x$
et alors $g'=\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$ soit $g'(x)=\dfrac{-4x}{2\sqrt{-x^2+1}}=\dfrac{-2x}{\sqrt{-x^2+1}}$


On a $h=uv$ avec $u(x)=x$ donc $u'(x)=1$ et $v=e^w$ avec $w(x)=-3x^2$ donc $w'(x)=-6x$, et donc $v'=w'e^w$ soit $w'(x)=-6xe^{-3x^2}$
En dérivant le produit, on a alors $h'=u'v+uv'$ soit
\[h'(x)=1e^{-3x^2}+x\lp-6xe^{-3x^2}\right) =\lp1-6x^2\right) e^{-3x^2} \]




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Exercice 2: Courbe représentative d'une fonction périodique

On considère la fonction $f$, périodique de période 2, et définie par $f(x)=x^2-1$ si $x\in[-1;1]$.
Tracer la représentation graphique de la fonction $f$ sur $[-5;5]$
Correction exercice 2
Sur $[-1;1]$ la courbe de $f$ est une portion de parabole. On reproduit ensuite cette portion de parabole par translation sur les intervalles voisins $[1;3]$, $[3;5]$ et $[-3;-1]$ et $[-5;-3]$.
\[\psset{unit=1.5cm,arrowsize=8pt}\begin{pspicture}(-6,-1.8)(6,1) \psline{->}(-5.6,0)(5.6,0) \psline{->}(0,-1.6)(0,.8) \newcommand{\f}[1]{#1 2 exp 1 sub} % Et son tracer: \psplot[linewidth=1.4pt]{-1}{1}{\f{x}} \psplot[linewidth=1.4pt]{1}{3}{\f{x 2 sub}} \psplot[linewidth=1.4pt]{3}{5}{\f{x 4 sub}} \psplot[linewidth=1.4pt]{-3}{-1}{\f{x 2 add}} \psplot[linewidth=1.4pt]{-5}{-3}{\f{x 4 add}} \multido{\i=-5+1}{11}{\rput(\i,.2){\i}\psline(\i,-.08)(\i,.05)} \psline(-.1,-1)(.1,-1)\rput(-.3,-1.1){$-1$} \end{pspicture}\]




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Exercice 3: Variation d'une fonction composée avec exponentielle

Étudier le sens de variation de la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=e^{3x^2-6x}$.
Correction exercice 3
On a $f=e^u$ avec $u(x)=3x^2-6$ donc $u'(x)=6x-6=6(x-1)$ et donc $f'=u'e^u$, soit $f'(x)=6(x-1)e^{3x^2-6}$
On peut alors dresser le tableau de variation:
\[\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline $x$ & $-\infty$ && 1 && $+\infty$\\\hline $6(x-1)$ && $-$ &\zb&$+$&\\\hline $e^{3x^2-6}$ && $+$ &$|$ & $+$ &\\\hline $f'(x)$ && $-$ &\zb&$+$&\\\hline &&&&&\\ $f$&&\Large{$\searrow$}&&\Large{$\nearrow$}&\\ &&&$e^{-3}$&&\\\hline \end{tabular}\]




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Exercice 4: Etude d'une suite arithmético-géométrique avec suite auxiliaire géométrique

On considère la suite $(u_n)$ définie par son premier terme $u_0=1$ et par la relation, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\dfrac23u_n+1$.
  1. Calculer $u_1$ et $u_2$.
  2. Montrer que $(u_n)$ n'est ni arithmétique, ni géométrique.
  3. On pose, pour tout entier naturel $n$, $v_n=u_n-3$.
    1. Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique, dont on précisera le premier terme et la raison.
    2. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
    3. En déduire l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.

Correction exercice 4
On considère la suite $(u_n)$ définie par son premier terme $u_0=1$ et par la relation, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\dfrac23u_n+1$.
  1. $u_1=\dfrac23u_0+1=\dfrac53$ et $u_2=\dfrac23u_1+1=\dfrac{19}{9}$.
  2. On a $u_1-u_0=\dfrac23\not=u_2-u_1=\dfrac49$ donc $(u_n)$ n'est pas arithmétique.
    De même, $\dfrac{u_1}{u_0}=\dfrac53\not=\dfrac{u_2}{u_1}=\dfrac{19}{15}$ donc $(u_n)$ n'est pas géométrique non plus.
  3. On pose, pour tout entier naturel $n$, $v_n=u_n-3$.
    1. Pour tout entier $n$, $v_{n+1}=u_{n+1}-3=\dfrac23u_n+1-3=\dfrac23u_n-2=\dfrac23\left( u_n-3\right) =\dfrac23v_n$.
      Ainsi, $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $q=\dfrac23$ et de premier terme $v_0=u_0-3=-2$.
    2. On en déduit que, pour tout entier $n$, $v_n=v_0q^n=-2\lp\dfrac23\rp^n$.
    3. On obtient alors, $v_n=u_n-3\iff u_n=v_n+3=-2\lp\dfrac23\rp^n+3$.



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Exercice 5: Espérance et écart type d'une variable aléatoire

On donne la loi de probabilité d'une variable aléatoire $X$:
\[\begin{tabular}{|*{6}{c|}}\hline $x_i$ & 12 & 5 & 8 & 9 \\\hline $P(X=x_i)$ & 0,3 & 0,2 & 0,1 & 0,4 \\\hline \end{tabular}\]


Calculer l'espérance et l'écart-type de $X$. (Détailler les formules et calculs effectués.)
Correction exercice 5
La moyenne de la série est:
\[\overline{X}=0,3\tm12+0,2\tm5+0,1\tm8+0,4\tm9 = 9\]


La variance de la série est:
\[ V(X)=0,3\tm(12-9)^2+0,2\tm(5-9)^2+0,1\tm(8-9)^2+0,4\tm(9-9)^2 = 6 \]

d'où l'écart-type: $\sigma=\sqrt{V}=\sqrt6\simeq2,45$


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Voir aussi:
ccc