Devoir de maths corrigé, Fonctions, suites numériques et une variable aléatoire
Première générale, spécialité mathématiques
Devoir de mathématiques, et corrigé, sur les fonctions, exponentielle, suites numériques et variable aléatoire, posé en spé maths, première générale, année scolaire 2023/2024
Exercice 1: Calculs de dérivées de fonctions
Calculer la fonction dérivée des fonctions , et définies par les expressions suivantes:
,
et
On a avec donc
et alors soit
On a avec donc
et alors soit
On a avec donc et avec donc , et donc soit
En dérivant le produit, on a alors soit
Cacher la correction
Correction exercice 1
On a avec donc
et alors soit
On a avec donc
et alors soit
On a avec donc et avec donc , et donc soit
En dérivant le produit, on a alors soit
Cacher la correction
Exercice 2: Courbe représentative d'une fonction périodique
On considère la fonction , périodique de période 2, et définie par si .
Tracer la représentation graphique de la fonction sur
Sur la courbe de est une portion de parabole. On reproduit ensuite cette portion de parabole par translation sur les intervalles voisins , et et .
Cacher la correction
Tracer la représentation graphique de la fonction sur
Correction exercice 2
Sur la courbe de est une portion de parabole. On reproduit ensuite cette portion de parabole par translation sur les intervalles voisins , et et .
Cacher la correction
Exercice 3: Variation d'une fonction composée avec exponentielle
Étudier le sens de variation de la fonction définie sur par
.
On a avec donc et donc , soit
On peut alors dresser le tableau de variation:
Cacher la correction
Correction exercice 3
On a avec donc et donc , soit
On peut alors dresser le tableau de variation:
Cacher la correction
Exercice 4: Etude d'une suite arithmético-géométrique avec suite auxiliaire géométrique
On considère la suite définie par son premier terme
et par la relation, pour tout entier naturel ,
.
On considère la suite définie par son premier terme et par la relation, pour tout entier naturel , .
Cacher la correction
- Calculer et .
- Montrer que n'est ni arithmétique, ni géométrique.
- On pose, pour tout entier naturel ,
.
- Montrer que est une suite géométrique, dont on précisera le premier terme et la raison.
- Exprimer en fonction de .
- En déduire l'expression de en fonction de .
Correction exercice 4
On considère la suite définie par son premier terme et par la relation, pour tout entier naturel , .
- et .
- On a
donc n'est pas arithmétique.
De même, donc n'est pas géométrique non plus.
- On pose, pour tout entier naturel ,
.
- Pour tout entier ,
.
Ainsi, est une suite géométrique de raison et de premier terme .
- On en déduit que, pour tout entier , .
- On obtient alors, .
- Pour tout entier ,
.
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Exercice 5: Espérance et écart type d'une variable aléatoire
On donne la loi de probabilité d'une variable aléatoire :
Calculer l'espérance et l'écart-type de . (Détailler les formules et calculs effectués.)
La moyenne de la série est:
La variance de la série est:
d'où l'écart-type:
Cacher la correction
Calculer l'espérance et l'écart-type de . (Détailler les formules et calculs effectués.)
Correction exercice 5
La moyenne de la série est:
La variance de la série est:
d'où l'écart-type:
Cacher la correction
Voir aussi: