Suite récurrente affine

Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale

Énoncé

On considère la suite $(u_n)$ définie par son premier terme $u_0=8$ puis par la relation, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\dfrac12 u_n +1$.
  1. Donner les valeurs exactes de $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
  2. On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par l'expression $f(x)=\dfrac12x+1$.
    1. Donner le sens de variation de $f$.
    2. Déterminer les coordonnées des éventuels points d'intersection de $\mathcal{C}_f$ et de la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y=x$.
    3. Tracer $\mathcal{C}$ et $\mathcal{D}$ dans un repère orthonormal (unité: 1cm ou 1 carreau).
    4. Placer $u_0$ sur l'axe des abscisses, et construire sur l'axe des abscisses les premiers termes $u_1$, $u_2$, $u_3$ et $u_4$ de la suite $\left( u_n\rp$.
  3. On considère la suite $(v_n)$ définie par $v_n=u_n-2$.
    1. Calculer $v_0$, $v_1$ et $v_2$.
    2. Exprimer $v_{n+1}$ en fonction de $u_n$, puis de $v_n$.
      En déduire que $\left( v_n\rp$ est une suite géométrique et donner une expression explicite de $v_n$ en fonction de $n$.
    3. Donner alors l'expression explicite de $u_n$ en fonction de $n$.



Correction

Correction

  1. $u_1=\dfrac12u_0+1=5$, $u_2=\dfrac12u_1+1=\dfrac72$ et $u_3=\dfrac12u_2+1=\dfrac{11}4$
    1. $f$ est une fonction affine de coefficient directeur $\dfrac12>0$ donc est strictement croissante sur $\R$.
    2. Soit $M(x;y)\in\mathcal{C}_f\cap\mathcal{D}$, alors $y=x=f(x)$ soit $y=x=\dfrac12x+1\iff y=x=2$.
      Il y a donc un unique point d'intersection $M(2;2)$.


    3. \[\psset{unit=1cm,arrowsize=7pt} \begin{pspicture}(-.2,-.2)(9.4,7) \psline{->}(-0.2,0)(9.2,0) \psline{->}(0,-0.2)(0,6.8) \psline(1,-0.1)(1,0.1)% \psline(-0.1,1)(0.1,1)% \rput[r](-0.2,1){1}% \rput(1,-0.3){1}% \rput(2,2){\large\bf$\tm$}\rput(1.9,2.2){$M$} % Definition de la fonction f de u_{n+1}=f(u_n) %\newcommand{\f}[1]{3 #1 mul #1 1 sub mul 1 add} \newcommand{\f}[1]{1 2 div #1 mul 1 add} % Et son tracer: \psplot[linewidth=1.4pt,plotpoints=500]{-.1}{9}{\f{x}} % ainsi que le tracer de la droite y=x \psplot{-0.2}{6.6}{x} % Defintion de la fonction it\'er\'ee: % par ex.: fn{3}{x}=f(f(f(x))) \newcommand\fn[2]{% \ifnum#1=1 \f{#2}% \else \f{\fn{\numexpr#1-1}{#2}}% \fi } % Valeur initiale (u_0) \def\xinit{8} \def\nmax{4} % Initialisation pour u_0 \psline[linestyle=dashed] (\xinit,0) (!\xinit\space\f{\xinit}) (!\f{\xinit}\space\f{\xinit}) \rput(\xinit,-0.3){$u_0$} % Boucle pour u_1, u_2, ..., u_nmax \multido{\i=1+1}{\nmax}{ \psline[linestyle=dashed] (!\fn{\i}{\xinit} \space 0) (!\fn{\i}{\xinit} \space \fn{\i}{\xinit}) (!\fn{\i}{\xinit} \space \fn{\numexpr\i+1}{\xinit}) (!\fn{\numexpr\i+1}{\xinit} \space \fn{\numexpr\i+1}{\xinit}) \rput(!\fn{\i}{\xinit}\space 0){$\tm$} \rput(!\fn{\i}{\xinit}\space -0.3){$u_\i$} } \end{pspicture}\]



    1. $v_0=u_0-2=6$, $v_1=u_1-2=5-2=3$ et $v_2=u_2-2=\dfrac72-2=\dfrac32$.
    2. $v_{n+1}=u_{n+1}-2=\lp\dfrac12u_n+1\rp-2=\dfrac12u_n-1$ or $v_n=u_n-2\iff u_n=v_n+2$ et donc, $v_{n+1}=\dfrac12\left( v_n+2\rp-1=\dfrac12v_n$
    3. La suite $\left( v_n\rp$ est donc géométrique de raison $q=\dfrac12$ et de premier terme $v_0=6$ et donc, pour tout entier $n$, $v_n=v_0q^n=6\tm\lp\dfrac12\rp^n=\dfrac3{2^{n-1}}$.
      On déduit alors que $u_n=v_n+2=\dfrac3{2^{n-1}}+2$.


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