Suite définie par récurrence et suite intermédiaire géométrique

Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale

Énoncé

On considère la suite $(u_n)$ définie par son premier terme $u_0=1$ et par la relation, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\dfrac23u_n+1$.
  1. Calculer $u_1$ et $u_2$.
  2. Montrer que $(u_n)$ n'est ni arithmétique, ni géométrique.
  3. On pose, pour tout entier naturel $n$, $v_n=u_n-3$.
    1. Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique, dont on précisera le premier terme et la raison.
    2. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
    3. En déduire l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.



Correction

Correction

On considère la suite $(u_n)$ définie par son premier terme $u_0=1$ et par la relation, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\dfrac23u_n+1$.
  1. $u_1=\dfrac23u_0+1=\dfrac53$ et $u_2=\dfrac23u_1+1=\dfrac{19}{9}$.
  2. On a $u_1-u_0=\dfrac23\not=u_2-u_1=\dfrac49$ donc $(u_n)$ n'est pas arithmétique.
    De même, $\dfrac{u_1}{u_0}=\dfrac53\not=\dfrac{u_2}{u_1}=\dfrac{19}{15}$ donc $(u_n)$ n'est pas géométrique non plus.
  3. On pose, pour tout entier naturel $n$, $v_n=u_n-3$.
    1. Pour tout entier $n$, $v_{n+1}=u_{n+1}-3=\dfrac23u_n+1-3=\dfrac23u_n-2=\dfrac23\left( u_n-3\right) =\dfrac23v_n$.
      Ainsi, $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $q=\dfrac23$ et de premier terme $v_0=u_0-3=-2$.
    2. On en déduit que, pour tout entier $n$, $v_n=v_0q^n=-2\lp\dfrac23\rp^n$.
    3. On obtient alors, $v_n=u_n-3\iff u_n=v_n+3=-2\lp\dfrac23\rp^n+3$.


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