Suite récurrente du 2nd degré

Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale

Énoncé

Soit la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par l'expression $f(x)=3x(x-1)+1$.
On note de plus $\mathcal{D}$ la droite d'équation $y=x$.
  1. Donner le tableau de variation de $f$.
  2. Déterminer les coordonnés des éventuels points d'intersection de $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{D}$.
  3. Tracer $\mathcal{C}_f$ dans un repère orthonormal. On prendra 1 unité = 10 cm.
  4. On définit la suite $\left( u_n\rp$ par $u_0=0,1$ puis, pour tout entier $n$, $u_{n+1}=f\left( u_n\rp$.
    Construire sur l'axe des abscisses les premiers termes de la suite, $u_0$, $u_1$, $u_2$, … , $u_5$.



Correction

Correction

  1. $f$ est une fonction du second degré, avec $f(x)=3x^2-3x+1$, avec $a=3>0$ et $-\dfrac{b}{2a}=\dfrac12$, donc, $f$ est décroissante sur $\Bigl]-\infty;\dfrac12\Bigr]$ et est croissante sur $\Bigl[\dfrac12;+\infty\Bigl[$.
    Le minimum de $f$ est de plus $f\lp\dfrac12\rp=3\tm\dfrac12\tm\lp-\dfrac12\rp+1=\dfrac14$.
  2. Soit $M(x;y)$ un éventuel point d'intersection de $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{D}$, alors, $M\in\mathcal{D}\iff y=x$ et, $M\in\mathcal{C}_f\iff y=f(x)$.
    On doit donc avoir $y=x=f(x)$, soit en particulier $x=f(x)=3x(x-1)+1\iff 3x^2-4x+1=0$.
    On peut calculer le discriminant, ou s'apercevoir que ce trinôme admet 1 comme racine évidente, et donc trouver que les racines de cette équations sont $x_1=1$ et $x_2=\dfrac13$.

    Ainsi, il y a deux points d'intersection: $A(1;1)$ et $B\lp\dfrac13;\dfrac13\rp$.


  3. \[\psset{unit=10cm,arrowsize=7pt} \begin{pspicture*}(-.2,-.2)(1.2,1.2) \psline{->}(-0.2,0)(1.2,0) \psline{->}(0,-0.2)(0,1.2) \psline(1,-0.01)(1,0.01)% \psline(-0.01,1)(0.01,1)% \rput(-0.03,1){1}% \rput(1,-0.03){1}% \rput(0.333,0.333){\large\bf$\tm$}\rput(0.37,0.34){$A$} \rput(1,1){\large\bf$\tm$}\rput(1.04,1){$B$} % Definition de la fonction f de u_{n+1}=f(u_n) \newcommand{\f}[1]{3 #1 mul #1 1 sub mul 1 add} % Et son tracer: \psplot[linewidth=1.4pt,plotpoints=500]{-.1}{1.2}{\f{x}} % ainsi que le tracer de la droite y=x \psplot{-0.2}{1.2}{x} % Defintion de la fonction it\'er\'ee: % par ex.: fn{3}{x}=f(f(f(x))) \newcommand\fn[2]{% \ifnum#1=1 \f{#2}% \else \f{\fn{\numexpr#1-1}{#2}}% \fi } % Valeur initiale (u_0) \def\xinit{0.1} \def\nmax{5} % Initialisation pour u_0 \psline[linestyle=dashed] (\xinit,0) (!\xinit\space\f{\xinit}) (!\f{\xinit}\space\f{\xinit}) \rput(\xinit,-0.05){$u_0$} % Boucle pour u_1, u_2, ..., u_nmax \multido{\i=1+1}{\nmax}{ \psline[linestyle=dashed] (!\fn{\i}{\xinit} \space 0) (!\fn{\i}{\xinit} \space \fn{\i}{\xinit}) (!\fn{\i}{\xinit} \space \fn{\numexpr\i+1}{\xinit}) (!\fn{\numexpr\i+1}{\xinit} \space \fn{\numexpr\i+1}{\xinit}) \rput(!\fn{\i}{\xinit}\space 0){$\tm$} \rput(!\fn{\i}{\xinit}\space -0.05){$u_\i$} } \end{pspicture*}\]



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