Sens de variation d'une suite définie par une fonction

Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale

Énoncé

Soit la fonction $ f$ définie sur $ {\rm I\kern-.1567em R}_+$ par l'expression $ f(x)=\dfrac{2-x}{x+3}$ .

On considère la suite $ (u_n)$ définie pour tout entier naturel $ n$ par la relation $ u_n=f(n)$ .

  1. Calculer $ u_0$ , $ u_1$ et $ u_2$ .

    La suite $ (u_n)$ peut-elle être arithmétique ? géométrique ?

  2. Dresser la tableau de variation de la fonction $ f$ .
  3. En déduire le sens de variation de la suite $ (u_n)$ .



Correction

Correction

  1. $ u_0=f(0)=\dfrac{2-0}{0+3}=\dfrac{2}{3}$ , $ u_1=f(1)=\dfrac{2-1}{1+3}=\dfrac{1}{4}$ et $ u_2=f(2)=\dfrac{2-2}{2+3}=0$ .


    On a alors: $ u_1-u_0=\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{4}=\dfrac{5}{12}$ et $ u_2-u_1=\dfrac{1}{4}-0=\dfrac{1}{4}$ .

    La suite $ (u_n)$ n'est donc pas arithmétique.


    De même, $ \dfrac{u_1}{u_0}\not=\dfrac{u_2}{u_1}=0$ , et donc la suite $ (u_n)$ n'est pas non plus géometrique.

  2. Pour tout $ x>0$ ,

    $\displaystyle f'(x)=\dfrac{-1\times (x+3)-(2-x)\times 1}{(x+3)^2} =\dfrac{-5}{(x+3)^2} $

    et donc,

    $\displaystyle \begin{tabular}{\vert c\vert cccc\vert}\hline $x$\ & $0$\ \hspac... ...\\ $f$\ && \psline{->}(-1,0.4)(1.4,-0.4) && \\ &&&&\\ \hline \end{tabular}$

  3. On en déduite que la suite $ (u_n)$ est décroissante.


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