Calcul d'un angle et distance d'un point à une droite: projeté orthogonal
Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale
Énoncé
Dans le plan muni d'un repère orthonormé, soit les points
,
et
.



- Calculer le produit scalaire
- Montrer que
, puis en déduire l'angle
au dixième de degré près.
- Soit le point
projection orthogonale du point
sur la droite
.
Calculer la longueurpuis en déduire
(donner les valeurs exactes).
Correction
![\[\psset{unit=1cm,arrowsize=9pt}
\begin{pspicture}(-2.5,-3)(6,3)
\psline[linewidth=1.6pt]{->}(-2.3,0)(6,0)
\psline[linewidth=1.6pt]{->}(0,-3)(0,3)
\rput(3,-2){$\tm$}\rput(3.2,-2.2){$A$}
\rput(5,2){$\tm$}\rput(5.2,2.2){$B$}
\rput(-1,1){$\tm$}\rput[r](-1.2,1){$C$}
\pspolygon(3,-2)(5,2)(-1,1)
\multido{\i=-2+1}{8}{\psline(\i,-.1)(\i,.1)}
\multido{\i=-2+1}{5}{\psline(-.1,\i)(.1,\i)}
\psline(-1,1)(3.37,-1.25)\rput(3.6,-1.3){$H$}
\psline(3.2,-1.15)(3.3,-.94)(3.48,-1.03)
\end{pspicture}\]](/Generateur-Devoirs/1S/Chap6/exangleproj_c/1.png)
Correction
![\[\psset{unit=1cm,arrowsize=9pt}
\begin{pspicture}(-2.5,-3)(6,3)
\psline[linewidth=1.6pt]{->}(-2.3,0)(6,0)
\psline[linewidth=1.6pt]{->}(0,-3)(0,3)
\rput(3,-2){$\tm$}\rput(3.2,-2.2){$A$}
\rput(5,2){$\tm$}\rput(5.2,2.2){$B$}
\rput(-1,1){$\tm$}\rput[r](-1.2,1){$C$}
\pspolygon(3,-2)(5,2)(-1,1)
\multido{\i=-2+1}{8}{\psline(\i,-.1)(\i,.1)}
\multido{\i=-2+1}{5}{\psline(-.1,\i)(.1,\i)}
\psline(-1,1)(3.37,-1.25)\rput(3.6,-1.3){$H$}
\psline(3.2,-1.15)(3.3,-.94)(3.48,-1.03)
\end{pspicture}\]](/Generateur-Devoirs/1S/Chap6/exangleproj_c/1.png)
- On a
et
d'où
- On a aussi
, avec
et
,
d'où.
On a donc, en utilisant la question précédente,
soit aussi
Avec l'aide de la caclulatrice, on trouve alors la valeur approché de l'angle
- On peut soit utiliser la trigonométrie dans le triangle rectangle
, dans lequel
soit en utilisant les valeurs précédentes deet du cosinus,
d'où
Deuxième méthode, avec le produit scalaire: commeest le projeté orthogonal, on a
.
On en déduit alors, en tuilisant le théorème de Pythagore dans le trianglerectangle en
,
d'où
Tag:Produit scalaire
Voir aussi:
Quelques devoirs
Géométrie avec le produit scalaire, projeté orthogonal et calcul d'un angle et droites tangentes à une parabole perpendiculaires
Géométrie avec le produit scalaire, et probabilités conditionnelles et arbres de probabilités
Probabilités conditionnelles et calculs de probabilités avec un arbre de probabilités. Propriétés algébriques de l'exponentielle et une étude de fonctionDevoir: Géométrie avec le produit scalaire, et probabilités conditionnelles et arbres de probabilités
une étude de fonction (calcul de dérivée et sens de variation) - Produit scalaire dans un repère: droites perpendiclaires et parallèles et calcul d'angle et distance d'un point à une droite en utilisant la projection orthogonale
une étude des variations d'une fonction - Calcul de la valeur approchée d'un angle avec le produit scalaire dans un repère - Probabilités conditionnelles et réunion / intersection d'événements