Projeté orthogonal sur une droite et calcul d'un angle

Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale

Énoncé

Dans un repère orthonormal $(O;\vec{i},\vec{j})$, on considère la droite $d$ d’équation $y=2x+6$ et les points $A(-2;-3)$ et $B(-3;1)$.
On note de plus $H$ le projeté orthogonal de $A$ sur $d$.
  1. Donner les coordonnées de deux points de $d$ et faire une figure complète.
  2. Déterminer les coordonnées du point $H$.
  3. Calculer une valeur approchée de l'angle $\widehat{AHB}$.



Correction

Correction

Dans un repère orthonormal $(O;\vec{i},\vec{j})$, on considère la droite $d$ d’équation $y=2x+6$ et les points $A(-2;-3)$ et $B(-3;1)$.
On note de plus $H$ le projeté orthogonal de $A$ sur $d$.
  1. Pour $x=0$, on a $y=2x+6=6$ donc le point $C(0;6)$ appartient à $d$, et de même, par exemple pour $x=1$ on a $y=2x+6=8$ donc le point $D(1;8)$ appartient aussi à $d$.

    On place tous les points, la droite $d$, et le projeté orthogonal $H$ sur une figure,
    \[\psset{arrowsize=8pt}\begin{pspicture*}(-5,-5)(3,10) \psline{->}(-5,0)(3,0) \psline{->}(0,-5)(0,10) \rput(-.2,-.2){$O$} \psline(1,-.1)(1,.1)\rput(1,-.3){1} \psline(-.1,1)(.1,1)\rput[r](-.2,1){1} \rput(-2,-3){$\tm$}\rput(-1.7,-2.8){$A$} \rput(-3,1){$\tm$}\rput(-3.2,1.2){$B$} \rput(.3,5.9){$C$} \rput(1,8){$\tm$}\rput(1.2,7.8){$D$} \psplot{-5}{5}{2 x mul 6 add}\rput(-4.9,-3.2){$d$} \psline(-.1,6)(.1,6)\rput[r](-.1,6){6} \rput(-4,-2){$\tm$}\rput(-4.25,-1.9){$H$} \psline(-2,-3)(-4,-2) \psline(-3.87,-1.74)(-3.56,-1.9)(-3.68,-2.15) \end{pspicture*}\]

  2. Soit $H(x;y)$ alors on sait que $H\in d\iff y=2x+6$ et aussi que $\overrightarrow{AH}\perp\overrightarrow{CD}$.
    Ainsi, avec $\overrightarrow{AH}\lp\begin{array}{c}x+2\\y+3\enar\rp$ et $\overrightarrow{CD}\lp\begin{array}{c}1\\2\enar\rp$, on obtient l'équation
    \[\begin{array}{ll}\overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{CD}=0&\iff 1(x+2)+2(y+3)=0\\ &\iff x+2y+8=0\enar\]


    En substituant alors avec l'équation de la droite $d: y=2x+6$, on a alors
    \[x+2(2x+6)+8=0\iff x=-\dfrac{20}5=-4\]

    et alors aussi $y=2x+6=-2$.
    On a ainsi trouvé le point $H(-4;-2)$.
  3. En utilisant le produit scalaire
    \[\overrightarrow{HA}\cdot\overrightarrow{HB}=AH\times HB\times \cos\lp\overrightarrow{HA},\overrightarrow{HB}\rp\]

    soit, avec $\overrightarrow{HA}\lp\begin{array}{c}2;-1\enar\rp$ et $\overrightarrow{HB}\lp\begin{array}{c}1;3\enar\rp$ on a d'une part
    \[\overrightarrow{HA}\cdot\overrightarrow{HB}=2\tm1+(-1)\tm3=-1\]

    et par ailleurs $HA=\sqrt{2^2+(-1)^2}=\sqrt5$ et $HB=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$ d'où
    \[\overrightarrow{HA}\cdot\overrightarrow{HB}=\sqrt5\sqrt{10}\cos\widehat{AHB}\]

    soit
    \[\cos\widehat{AHB}=\dfrac{\overrightarrow{HA}\cdot\overrightarrow{HB}}{\sqrt5\sqrt{10}} =\dfrac{-1}{\sqrt{50}}\]

    et on trouve, à l'aide de la calculatrice $\widehat{AHB}\simeq98^\circ$


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