Calculs vectoriels et produit scalaire

Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale

Dans un repère orthonormé, on considère les vecteurs $\vec{u}\lp\begin{array}{c}3\\-2\enar\rp$ et $\vec{v}\lp\begin{array}{c}2\\3\enar\rp$ .

Ces vecteurs sont-ils colinéaires ? orthogonaux ?
Calculer $\vec{u}^2$ , $\vec{u}\cdot\lp\vec{2\vec{u}+5\vec{v}\rp$ et $\lp\vec{u}-3\vec{v}\rp^2$ .
Les vecteurs $\vec{u}+\vec{v}$ et $\vec{u}-\vec{v}$ sont-ils orthogonaux ?

Correction

Le déterminant de ces deux vecteurs est

$\det\lp\vec{u},\vec{v}\rp=3\tm3-2\tm(-2)=13\not=0$

et ces vecteurs ne sont donc pas colinéaires.
Par ailleurs, leur produit scalaire vaut

$\vec{u}\cdot\vec{v}=3\tm2+(-2)\tm3=0$

ce qui montre que ces vecteurs sont orthogonaux.
On calcule

$\vec{u}^2=\vec{u}\cdot\vec{u}=3^2+(-2)^2=13$

puis, en développant

$\vec{u}\cdot\lp\vec{2\vec{u}+5\vec{v}\rp=2\vec{u}^2+5\vec{u}\cdot\vec{v} =2\tm13^2+0=338$

De même, en développant l'identité remarquable

$\lp\vec{u}-3\vec{v}\rp^2=\vec{u}^2-2\tm3\tm\vec{u}\cdot\vec{v}+9\vec{v}^2$

avec $\vec{u}\cdot\vec{v}=0$ et $\vec{v}^2=13$ d'où,

$\lp\vec{u}-3\vec{v}\rp^2=13-0+13=26$
On calcule le produit scalaire, en utilisant l'identité remarquable,

$\lp\vec{u}+\vec{v}\rp\cdot\lp\vec{u}-\vec{v}\rp =\vec{u}^2-\vec{v}^2=13^2-13^2$

ce qui montre que les vecteurs $\vec{u}+\vec{v}$ et $\vec{u}-\vec{v}$ sont bien orthogonaux.

Tag:Produit scalaire

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