Calculs vectoriels et produit scalaire

Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale

Énoncé

Dans un repère orthonormé, on considère les vecteurs $\vec{u}\lp\begin{array}{c}3\\-2\enar\rp$ et $\vec{v}\lp\begin{array}{c}2\\3\enar\rp$.
  1. Ces vecteurs sont-ils colinéaires ? orthogonaux ?
  2. Calculer $\vec{u}^2$, $\vec{v}^2$, $\vec{u}\cdot\lp\vec{u}+5\vec{v}\rp$ et $\lp\vec{u}-3\vec{v}\rp^2$.
  3. Les vecteurs $\vec{u}+\vec{v}$ et $\vec{u}-\vec{v}$ sont-ils orthogonaux ?



Correction

Correction

Dans un repère orthonormé, on considère les vecteurs $\vec{u}\lp\begin{array}{c}3\\-2\enar\rp$ et $\vec{v}\lp\begin{array}{c}2\\3\enar\rp$.
  1. Le déterminant de ces deux vecteurs est
    \[\det\lp\vec{u},\vec{v}\rp=3\tm3-2\tm(-2)=13\not=0\]

    et ces vecteurs ne sont donc pas colinéaires.
    Par ailleurs, leur produit scalaire vaut
    \[\vec{u}\cdot\vec{v}=3\tm2+(-2)\tm3=0\]

    ce qui montre que ces vecteurs sont orthogonaux.
  2. On calcule
    \[\vec{u}^2=\vec{u}\cdot\vec{u}=3^2+(-2)^2=13\]

    et
    \[\vec{v}^2=\vec{v}\cdot\vec{v}=2^2+3^2=13=\vec{u}^2\]

    puis, en développant
    \[\vec{u}\cdot\lp\vec{u}+5\vec{v}\rp=\vec{u}^2+5\vec{u}\cdot\vec{v} =13+0=13\]

    De même, en développant l'identité remarquable
    \[\lp\vec{u}-3\vec{v}\rp^2=\vec{u}^2-6\vec{u}\cdot\vec{v}+9\vec{v}^2\]

    avec $\vec{u}\cdot\vec{v}=0$ et $\vec{u}^2=\vec{v}^2=13$ d'où,
    \[\begin{array}{ll}\lp\vec{u}-3\vec{v}\rp^2&=13-0+9\tm13\\&=10\tm13=130\enar\]

  3. On calcule le produit scalaire, en utilisant l'identité remarquable,
    \[\begin{array}{ll}\lp\vec{u}+\vec{v}\rp\cdot\lp\vec{u}-\vec{v}\rp &=\vec{u}^2-\vec{v}^2\\&=13-13=0\enar\]

    ce qui montre que les vecteurs $\vec{u}+\vec{v}$ et $\vec{u}-\vec{v}$ sont orthogonaux.


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