Devoir de maths corrigé, Dérivées et produit scalaire
Première générale, spécialité mathématiques
Devoir de mathématiques, et corrigé, posé en spé maths, première générale, année scolaire 2023/2024
Exercice 1: Variation d'une fonction et deux équations de tangente
Soit la fonction définie sur par l'expression .
Calculer et dresser le tableau de variation de (préciser les valeurs exactes des éventuels minimums et maximums).
Préciser l'équation des tangentes aux points d'abscisses et .
Soit la fonction définie sur par l'expression .
avec soit
On a donc, , soit
Le trinôme du numérateur a pour discriminant: , et admet donc deux racines et .
L'équation de la tangente au point d'abscisse est
Au point d'abscisse , on a (déjà ans le tableau de variation) et , d'où l'équation de la tangente horizontale
Au point d'abscisse , on calcule et d'où l'équation de la tangente
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Calculer et dresser le tableau de variation de (préciser les valeurs exactes des éventuels minimums et maximums).
Préciser l'équation des tangentes aux points d'abscisses et .
Correction exercice 1
Soit la fonction définie sur par l'expression .
avec soit
On a donc, , soit
Le trinôme du numérateur a pour discriminant: , et admet donc deux racines et .
L'équation de la tangente au point d'abscisse est
Au point d'abscisse , on a (déjà ans le tableau de variation) et , d'où l'équation de la tangente horizontale
Au point d'abscisse , on calcule et d'où l'équation de la tangente
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Exercice 2: Droites parallèles ou perpendiculaires
On considère, dans un repère orthonormé du plan, les points
, , , et .
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- Les droites et sont-elles perpendiculaires ?
- Les droites et sont-elles parallèles ?
Correction exercice 2
- On a et
d'où
ce qui montre que les vecteurs et sont orthogonaux et donc que les droites et sont perpendiculaires.
- On a de plus
ce qui montre que les vecteurs et sont colinéaires et donc que les droites et sont parallèles.
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Exercice 3: Produit scalaire, calcul d'angle et distance à une droite
Dans le plan muni d'un repère orthonormé, soit les points
, et .
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- Calculer le produit scalaire
- Montrer que , puis en déduire l'angle au dixième de degré près.
- Soit le point projection orthogonale du point sur la droite .
Calculer la longueur puis en déduire (donner les valeurs exactes).
Correction exercice 3
- On a et d'où
- On a aussi ,
avec et ,
d'où .
On a donc, en utilisant la question précédente,
soit aussi
Avec l'aide de la caclulatrice, on trouve alors la valeur approché de l'angle
- On peut soit utiliser la trigonométrie dans le triangle rectangle , dans lequel
soit en utilisant les valeurs précédentes de et du cosinus,
d'où
Deuxième méthode, avec le produit scalaire: comme est le projeté orthogonal, on a .
On en déduit alors, en tuilisant le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle en ,
d'où
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Voir aussi: