Devoir de maths corrigé, Dérivées et produit scalaire

Première générale, spécialité mathématiques

Devoir de mathématiques, et corrigé, posé en spé maths, première générale, année scolaire 2023/2024

Exercice 1: Variation d'une fonction et deux équations de tangente

Soit la fonction $ f$ définie sur $ {\rm I\kern-.1567em R}\setminus\left\{-\dfrac14\right\}$ par l'expression $ f(x)=\dfrac{x^2+3}{4x+1}$ .
Calculer $ f'(x)$ et dresser le tableau de variation de $ f$ (préciser les valeurs exactes des éventuels minimums et maximums).

Préciser l'équation des tangentes aux points d'abscisses $-2$ et $2$.

Correction exercice 1


Soit la fonction $f$ définie sur $\R\setminus\left\{}\newcommand{\ra}{\right\} -\dfrac14\ra$ par l'expression $f(x)=\dfrac{x^2+3}{4x+1}$.
$f=\dfrac{u}{v}$ avec $\la\begin{array}{ll} u(x)&=x^2+3 \\ v(x)&=4x+1 \enar\right.$ soit $\la\begin{array}{ll} u'(x)&=2x \\ v'(x)&=4 \enar\right.$

On a donc, $f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$, soit $f'(x)=\dfrac{2x(4x+1)-(x^2+3)\tm4}{(4x+1)^2} =\dfrac{4x^2+2x-12}{(4x+1)^2} $

Le trinôme du numérateur a pour discriminant: $\Delta=2^2+4\tm4\tm(-12)=196=14^2>0$, et admet donc deux racines $x_1=\dfrac{-2-14}{2\tm4}=-2$ et $x_1=\dfrac{-2+14}{2\tm4}=\dfrac32$ .

\[\begin{tabular}{|c|ccccccccc|}\hline \rule[-0.3cm]{0.cm}{0.9cm} $x$ & $-\infty$ && $-2$ && $-\dfrac14$ && $\dfrac32$ && $+\infty$ \\\hline $4x^2+2x-12$ && $+$ &\zb&$-$&$|$ &$-$&\zb&$+$&\\\hline $(4x+1)^2$ && $+$ &$|$&$+$&\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} &$+$&$|$&$+$&\\\hline $f'(x)$ && $+$ &\zb&$-$&\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$} &$-$&\zb&$+$&\\\hline &&&$-1$&&&&&&\\ $f(x)$ && \LARGE{$\nearrow$} && \LARGE{$\searrow$} &\psline(0,-.8)(0,.8)\psline(0.08,-.8)(0.08,.8)&\LARGE{$\searrow$} && \LARGE{$\nearrow$}&\\ &&&&&&&$\dfrac34$&&\\\hline \end{tabular} \begin{array}{ll} \bullet\ f(-2)=\dfrac{(-2)^2+3}{4\tm(-2)+1}=-1\\[0.5cm] \bullet\ f\lp\dfrac32\rp=\dfrac{\lp\dfrac32\rp^2+3}{4\tm\lp\dfrac32\rp+1} =\dfrac{\dfrac{21}{4}}{7} =\dfrac34\\ \end{array} \]


L'équation de la tangente au point d'abscisse $a$ est
\[T_a: y=f'(a)(x-a)+f(a)\]

Au point d'abscisse $-2$, on a (déjà ans le tableau de variation) $f'(-2)=0$ et $f(-2)=-1$, d'où l'équation de la tangente horizontale
\[T_{-2}: y=-1\]


Au point d'abscisse $2$, on calcule $f(2)=\dfrac{2^2+3}{4\tm2+1}=\dfrac79$ et $f'(2)=\dfrac{4\tm2^2+2\tm2-12}{(4\tm2+1)^2}=\dfrac{8}{81}$ d'où l'équation de la tangente
\[T_2: y=\dfrac{8}{81}(x-2)+\dfrac79=\dfrac{8}{81}x+\dfrac{47}{81}\]



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Exercice 2: Droites parallèles ou perpendiculaires

On considère, dans un repère orthonormé du plan, les points $A(2;4)$, $B(4;-3)$, $C(6;3)$, $D(-1;1)$ et $E(2;17)$.
  1. Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont-elles perpendiculaires ?
  2. Les droites $(AB)$ et $(CE)$ sont-elles parallèles ?

Correction exercice 2


  1. On a $\overrightarrow{AB}\lp\begin{array}{c}2\\-7\enar\rp$ et $\overrightarrow{CD}\lp\begin{array}{c}-7\\-2\enar\rp$ d'où
    \[\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}=2\tm(-7)+(-7)\tm(-2)=-14+14=0\]

    ce qui montre que les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont orthogonaux et donc que les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont perpendiculaires.
  2. On a de plus $\overrightarrow{CE}\lp\begin{array}{c}-4\\14\enar\rp$
    \[\det\lp\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CE}\rp=2\times 14 - (-7)\times(-4)=0\]

    ce qui montre que les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CE}$ sont colinéaires et donc que les droites $(AB)$ et $(CE)$ sont parallèles.


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Exercice 3: Produit scalaire, calcul d'angle et distance à une droite

Dans le plan muni d'un repère orthonormé, soit les points $A(3;-2)$, $B(5;2)$ et $C(-1;1)$.
  1. Calculer le produit scalaire $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$
  2. Montrer que $\cos\lp\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\rp=\dfrac{2}{5\sqrt5}$, puis en déduire l'angle $\widehat{BAC}$ au dixième de degré près.
  3. Soit le point $H$ projection orthogonale du point $C$ sur la droite $(AB)$.
    Calculer la longueur $AH$ puis en déduire $HC$ (donner les valeurs exactes).

Correction exercice 3



\[\psset{unit=1cm,arrowsize=9pt} \begin{pspicture}(-2.5,-3)(6,3) \psline[linewidth=1.6pt]{->}(-2.3,0)(6,0) \psline[linewidth=1.6pt]{->}(0,-3)(0,3) \rput(3,-2){$\tm$}\rput(3.2,-2.2){$A$} \rput(5,2){$\tm$}\rput(5.2,2.2){$B$} \rput(-1,1){$\tm$}\rput[r](-1.2,1){$C$} \pspolygon(3,-2)(5,2)(-1,1) \multido{\i=-2+1}{8}{\psline(\i,-.1)(\i,.1)} \multido{\i=-2+1}{5}{\psline(-.1,\i)(.1,\i)} \psline(-1,1)(3.37,-1.25)\rput(3.6,-1.3){$H$} \psline(3.2,-1.15)(3.3,-.94)(3.48,-1.03) \end{pspicture}\]


  1. On a $\overrightarrow{AB}\lp\begin{array}{c}2\\4\enar\rp$ et $\overrightarrow{AC}\lp\begin{array}{c}-4\\3\enar\rp$ d'où $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=2\tm(-4)+4\tm3=4$
  2. On a aussi $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=AB\times AC\times\cos\lp\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\rp$, avec $AB=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{20}=2\sqrt5$ et $AC=\sqrt{(-4)^2+3^2}=5$,
    d'où $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=2\sqrt5\tm5\tm\cos\lp\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\rp$.

    On a donc, en utilisant la question précédente,
    \[\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=4=2\sqrt5\tm5\tm\cos\lp\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\rp\]

    soit aussi
    \[\cos\lp\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\rp=\dfrac4{2\sqrt5\tm5}=\dfrac2{5\sqrt5}\]

    Avec l'aide de la caclulatrice, on trouve alors la valeur approché de l'angle
    \[\widehat{BAC}\simeq79,7^\circ\]


  3. On peut soit utiliser la trigonométrie dans le triangle rectangle $AHC$, dans lequel
    \[\cos\hat{A}=\dfrac{AH}{AC}\]

    soit en utilisant les valeurs précédentes de $AC$ et du cosinus,
    \[\cos\hat{A}=\dfrac2{5\sqrt5}=\dfrac{AH}5\]

    d'où $AH=\dfrac2{\sqrt5}$
    Deuxième méthode, avec le produit scalaire: comme $H$ est le projeté orthogonal, on a $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AH}=AB\times AH$.

    On en déduit alors, en tuilisant le théorème de Pythagore dans le triangle $AHC$ rectangle en $H$,
    \[\begin{array}{lll} &AC^2&=HC^2+AH^2\\\iff&HC^2&=AC^2-AH^2\\ &&=5^2-\lp\dfrac2{\sqrt5}\rp^2=\dfrac{121}5\enar\]

    d'où
    \[HC=\dfrac{11}{\sqrt5}\]



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ccc