Intersection et position relative de deux courbes

Exercice corrigé - maths en seconde générale

Énoncé

On considère les fonctions $f$ et $g$ définies par les expressions $f(x)=x+2$ et $g(x)=\dfrac{x^2}{x+1}$, et on note $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ leurs courbes représentatives.
  1. Préciser l'ensemble de définition de $g$.
  2. Déterminer les coordonnées des éventuels points d'intersection des courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$.
  3. Étudier la position relative des courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$.



Correction

Correction

  1. La fonction $g$ est définie lorsque $x+1\not=0\iff x\not=-1$, et l'ensemble de définition de $g$ est donc
    \[\mathcal{D}_g=\R\setminus\la-1\ra\]

  2. Si $M(x;y)$ est un éventuel point d'intersection, alors on a $y=f(x)=g(x)$.
    En particulier,
    \[\begin{array}{ll}f(x)=g(x)\iff x+2=\dfrac{x^2}{x+1} \iff x+2-\dfrac{x^2}{x+1}=0\\ \iff\dfrac{(x+2)(x+1)}{x+1}-\dfrac{x^2}{x+1}=0\\ \iff\dfrac{3x+2}{x+1}=0\\ \iff \left( x\not=-1 \text{ et } x=-\dfrac23\rp\enar\]

    L'ordonnée du point d'intersection est alors
    \[y=f\lp-\dfrac23\rp=-\dfrac23+2=\dfrac43\]

    Le point d'intersection est donc $M\lp-\dfrac23;\dfrac43\rp$.
  3. On étudie le signe de la différence:
    \[f(x)-g(x)=x+2-\dfrac{x^2}{x+1} =\dfrac{3x+2}{x+1}\]

    grâce à un tableau de signes:
    \[ \begin{tabular}{|c|ccccccc|}\hline $x$ & $-\infty$ && $-1$ && $-\frac23$ && $+\infty$ \\\hline $3x+2$ && $-$ & $|$ & $-$ & \mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} & $+$ & \\\hline $x+1$ && $-$ & \mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} & $+$ & $|$ & $+$ & \\\hline $\dfrac{3x+2}{x+1}$ && $+$ &\db& $-$ &\zb& $+$ & \\\hline \end{tabular} \]

    On a donc:
    • $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de $\mathcal{C}_g$ sur $]-\infty;-1[\cup]-\frac23;+\infty[$
    • $\mathcal{C}_f$ est au-dessous de $\mathcal{C}_g$ sur $]-1;-\dfrac23[$.
    • $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ se coupent au point d'abscisse $-\dfrac23$ (qui est le point déterminé à la question précédente).


Tags:FonctionsInéquations et tableaux de signes

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