Intersection et position relative de deux courbes

Exercice corrigé - maths en seconde générale

On considère les fonctions

définies par les expressions

et $g(x)=\dfrac{x^2}{x+1}$ , et on note $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ leurs courbes représentatives.

Préciser l'ensemble de définition de .
Déterminer les coordonnées des éventuels points d'intersection des courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ .
Étudier la position relative des courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ .

Correction

La fonction est définie lorsque $x+1\not=0\iff x\not=-1$ , et l'ensemble de définition de est donc

$\mathcal{D}_g=\R\setminus\la-1\ra$
Si est un éventuel point d'intersection, alors on a .
En particulier,

$\begin{array}{ll}f(x)=g(x)\iff x+2=\dfrac{x^2}{x+1} \iff x+2-\dfrac{x^2}{x+1}=0\\ \iff\dfrac{(x+2)(x+1)}{x+1}-\dfrac{x^2}{x+1}=0\\ \iff\dfrac{3x+2}{x+1}=0\\ \iff \left( x\not=-1 \text{ et } x=-\dfrac23\rp\enar$

L'ordonnée du point d'intersection est alors

$y=f\lp-\dfrac23\rp=-\dfrac23+2=\dfrac43$

Le point d'intersection est donc $M\lp-\dfrac23;\dfrac43\rp$ .
On étudie le signe de la différence:

$f(x)-g(x)=x+2-\dfrac{x^2}{x+1} =\dfrac{3x+2}{x+1}$

grâce à un tableau de signes:

$\begin{tabular}{|c|ccccccc|}\hline $x$ & $-\infty$ && $-1$ && $-\frac23$ && $+\infty$ \\\hline $3x+2$ && $-$ & $|$ & $-$ & \mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} & $+$ & \\\hline $x+1$ && $-$ & \mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} & $+$ & $|$ & $+$ & \\\hline $\dfrac{3x+2}{x+1}$ && $+$ &\db& $-$ &\zb& $+$ & \\\hline \end{tabular}$

On a donc:
- $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de $\mathcal{C}_g$ sur $]-\infty;-1[\cup]-\frac23;+\infty[$
- $\mathcal{C}_f$ est au-dessous de $\mathcal{C}_g$ sur $]-1;-\dfrac23[$ .
- $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ se coupent au point d'abscisse $-\dfrac23$ (qui est le point déterminé à la question précédente).

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