Devoir de maths corrigé, Statistiques, inéquations (graphique)

seconde

Devoir de mathématiques, et corrigé, sur statistiques, les fonctions (graphique, courbe et inéquation) et la résolution d'inéquations (tableaux de signes), posé en seconde générale, année scolaire 2023/2024

Exercice 1: Moyenne et écart type d'une série pondérée - Sujet A

Donner la moyenne et l'écart-type de la série:

$\begin{tabular}{|*{6}{c|}}\hline Valeurs & 12 & 5 & 8 & 9 \\\hline Effectifs & 3 & 2 & 1 & 4 \\\hline \end{tabular}$

(Détailler les formules et calculs effectués.)

Correction exercice 1

La moyenne de la série est:

$\overline{x}=\dfrac{3\tm12+2\tm5+1\tm8+4\tm9}{10} =9$

La variance de la série est:

$V=\dfrac{3\tm(12-9)^2+2\tm(5-9)^2+1\tm(8-9)^2+4\tm(9-9)^2}{10} =6$

d'où l'écart-type: $\sigma=\sqrt{V}=\sqrt6\simeq2,45$

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Exercice 2: Moyenne et écart type d'une série pondérée - Sujet B

Donner la moyenne et l'écart-type de la série:

$\begin{tabular}{|*{6}{c|}}\hline Valeurs & 14 & 5 & 18 & 10 \\\hline Effectifs & 3 & 2 & 1 & 4 \\\hline \end{tabular}$

(Détailler les formules et calculs effectués.)

Correction exercice 2

La moyenne de la série est:

$\overline{x}=\dfrac{3\tm14+2\tm5+1\tm18+4\tm10}{10} =11$

La variance de la série est:

$V=\dfrac{3\tm(14-11)^2+2\tm(5-11)^2+1\tm(18-11)^2+4\tm(10-11)^2}{10} =15,2$

d'où l'écart-type: $\sigma=\sqrt{V}=\sqrt{15,2}\simeq3,9$

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Exercice 3: Résolution d'inéquations

Résoudre les inéquations:

Correction exercice 3

On dresse le tableau de signe de l'expression:

$\begin{tabular}{|c|ccccccc|}\hline $x$ & $-\infty$ && $-3$ && $\frac{5}{2}$ && $+\infty$ \\\hline $x+3$ && $-$ & \mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} & $+$ & $|$ & $+$ & \\\hline $-2x+5$ && $+$ & $|$ & $+$ & \mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} & $-$ & \\\hline $(x+3)(-2x+5)$ && $-$ &\zb& $+$ &\zb& $-$ & \\\hline \end{tabular}$

Ainsi, $(x+3)(-2x+5)\geqslant 0 \iff x\in\lb-3;\dfrac{5}{2}\rb$ .
$\begin{array}[t]{ll} (2x-3) > (2-x)(2x-3) &\iff (2x-3)-(2-x)(2x-3)> 0 \\ &\iff (2x-3)\Bigl[ 1 - (2-x)\Bigr] > 0 \\ &\iff (2x-3)(x-1)> 0 \enar$

$\begin{tabular}{|c|ccccccc|}\hline $x$ & $-\infty$ && $1$ && $\frac{3}{2}$ && $+\infty$ \\\hline $2x-3$ && $-$ & $|$ & $-$ & \mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} & $+$ & \\\hline $x-1$ && $-$ & \mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} & $+$ & $|$ & $+$ & \\\hline $(2x-3)(x-1)$ && $+$ &\zb& $-$ &\zb& $+$ & \\\hline \end{tabular}$

Ainsi, $(2x-3) > (2-x)(2x-3) \iff x\in]-\infty;1[\cup]\frac{3}{2};+\infty[$ .
$\dfrac{2}{3x-6}< 3 \iff \dfrac{2}{3x-6} -3 < 0 \iff \dfrac{-9x+20}{3x-6}< 0$

$\begin{tabular}{|c|ccccccc|}\hline $x$ & $-\infty$ && $2$ && $\frac{20}{9}$ && $+\infty$ \\\hline $-9x+20$ && $+$ & $|$ & $+$ & \mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} & $-$ & \\\hline $3x-6$ && $-$ & \mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} & $+$ & $|$ & $+$ & \\\hline $\dfrac{-9x+20}{3x-6}$ && $-$ &\db& $+$ &\zb& $-$ & \\\hline \end{tabular}$

Ainsi, $\dfrac{2}{3x-6}< 3 \iff x\in \Bigl]-\infty;2\Bigr[\cup\Bigl[\frac{20}{9};+\infty\Bigr[$

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Exercice 4: Ensemble de définition de deux fonctions

Déterminer l'ensemble de définition des fonctions

dont les expressions sont:

Correction exercice 4

. On ne doit pas avoir

. Ainsi,

On ne doit pas avoir

, soit

.
Ainsi,

. On doit avoir

.
Pour résoudre cette inéquation, on peut dresser le tableau de signes de

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Exercice 5: Fonction: variation, courbe et inéquations graphiques et algébriques

On considère la fonction

définie par l'expression

définie sur

Décomposer la fonction en une suite d'opérations élémentaires.
Déterminer le sens de variation de sur l'intervalle .
On admet ensuite que la fonction est croissante sur . Donner alors le tableau de variation de sur .
Tracer dans un repère l'allure de la courbe représentative de (on pourra s'aider d'un rapide tableau de valeurs).
Résoudre graphiquement l'inéquation $f(x)\leqslant1$ .
Tracer sur le graphique précédent la courbe de la fonction définie par .
Résoudre alors graphiquement l'inéquation $f(x)\leqslant g(x)$ .

Bonus: Résoudre exactement, par le calcul, l'inéquation $f(x)\leqslant g(x)$ . (on pourra penser à développer l'expression de ).

Correction exercice 5

On considère la fonction

définie par l'expression

définie sur

$\psset{arrowsize=6pt}\begin{pspicture}(-1,-1)(10,.2) \rput(0,0){$x$} \psline{->}(.2,0)(1.2,0)\rput(.6,.3){$-2$} \rput[l](1.3,0){$x-2$} \psline{->}(2.4,0)(3.6,0)\rput(3,.3){carr\'e} \rput[l](3.8,0){$(x-2)^2$} \psline{->}(5.4,0)(6.6,0)\rput(5.9,.3){$-3$} \rput[l](6.8,0){$(x-2)^2-3$} \psline[arrowsize=7pt]{->}(0,-.3)(0,-1)(8.5,-1)(8.5,-.3) \rput(3.5,-.7){$f$} \end{pspicture}$
Soit deux nombres réels quelconques et tels que $-1\leqslant a<b\leqslant 2$
alors $-3\leqslant a-2<b-2\leqslant0$
donc $9\geqslant (a-2)^2>(b-2)^2\geqslant0$ : carré de nombres négatifs change l'ordre
d'où $6\geqslant (a-2)^2-3>(b-2)^2-3\geqslant-3$
soit donc $6\geqslant f(a)>f(b)\geqslant-3$
c'est-à-dire que change l'ordre et est donc décroissante sur .
On a donc trouvé le tableau de variation

$\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline $x$ & $-1$ && 2 && 5 \\\hline &6&&&&6\\ $f$&&\Large{$\searrow$}&&\Large{$\nearrow$}&\\ &&&$-3$&&\\\hline \end{tabular}$
Avec éventuellement un tableau de valeurs pour compléter le tableau de variation précédent:

$\begin{tabular}{|c|*7{p{2em}|}}\hline $x$&$-1$&0&1&2&3&4&5\\\hline $f(x)$&6&1&$-2$&$-3$&$-2$&1&6\\\hline \end{tabular}$

$\psset{unit=1cm,arrowsize=8pt} \begin{pspicture*}(-2,-5)(6.5,7.4) \psline{->}(-2,0)(6,0) \psline{->}(0,-5)(0,7.4) \multido{\i=-1+1}{7}{\psline[linestyle=dashed](\i,-4.2)(\i,7.2)\rput(\i,-.3){$\i$}} \multido{\i=-4+1}{12}{\psline[linestyle=dashed](-1.2,\i)(5.2,\i)\rput[r](-.1,\i){$\i$}} \psplot[linewidth=1.6pt,linecolor=red]{-1}{5}{x 2 sub 2 exp 5 sub} \rput(4,4){\red$\mathcal{C}_f$} \psplot[linewidth=1.6pt,linecolor=blue]{-3}{5}{-1 x mul 1 add} \rput(-1.5,2){\blue$\mathcal{C}_g$} \psline[linewidth=1.6pt,linecolor=magenta](-2,1)(7,1) \end{pspicture*}$
Graphiquement on trouve que $f(x)\leqslant1$ pour $x\in[0;4]$ .
Graphiquement on trouve que $f(x)\leqslant g(x)$ pour $x\in[0;3]$

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