Devoir corrigé de maths en seconde

Probabilités, inéquations

Devoir de mathématiques, et corrigé, sur les pourcentages, probabilités, et tableaux de signe de deux fonctions et l'intersection de leurs courbes représentatives, posé en seconde générale, année scolaire 2023/2024

Exercice 1: Augmentation des salaires sur 3 ans

Le gouvernement a annoncé vouloir augmenter certains salaires de 10% en trois ans.
La première année, il augmente ces salaires de 5%, puis les réaugmente la deuxième année de 3%.
  1. À combien s'élève, après les deux premières années, un salaire initialement de 1500 euros ?
  2. Quel devrait être le pourcentage d'augmentation la troisième année pour que l'annonce faite soit respectée.

Correction exercice 1
  1. Après les deux premières années, le nouveau salaire sera de $100\tm(1+5\%)\tm(1+3\%)=1622,25$ euros.
  2. Le gouvernement veut augmenter les salaires de 10% sur 3 ans, donc les multiplier par 1,1.
    On note $x$ le pourcentage d'augmentation à appliquer la troisième année. On multiplie donc par ailleurs ces salaires, avec les trois augmentations des trois années: $(1+5\%)\tm(1+3\%)\tm(1+x)$.
    On doit donc avoir
    \[(1+5\%)(1+3\%)(1+x)=1,1 \iff 1+x=\dfrac{1,1}{1,05\tm1,03}\simeq 1,017\]

    Ainsi, la troisième augmentation devra être d'environ 1,7%.



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Exercice 2: Tableaux de signes et intersection de deux courbes

Soit $f(x)=2-\dfrac{x+1}{x+2}$ et $g(x)=\dfrac3{x+2}-1$.
  1. Donner les tableaux de signe de $f(x)$ et de $g(x)$.
  2. Déterminer les coordonnées des éventuels points d'intersection des courbes de $f$ et de $g$.

Correction exercice 2
  1. Sur le même dénominateur, on a $f(x)=\dfrac{x+3}{x+2}$ et $g(x)=\dfrac{-x+1}{x+2}$ puis les tableaux de signe:
    \[\begin{tabular}[t]{|c|ccccccc|}\hline $x$&$-\infty$ & & $-3$ & & $-2$ & & $+\infty$ \\\hline $x+3$ & & $-$ & \mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} & $+$ & $|$ & $+$ &\\\hline $x+2$ & & $-$ & $|$ & $-$ & \mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} & $-$ &\\\hline $f(x)$ & & $+$ & \mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} & $-$ & \mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$} & $+$ & \\\hline \end{tabular}\]

    et
    \[\begin{tabular}[t]{|c|ccccccc|}\hline $x$&$-\infty$ & & $-2$ & & $1$ & & $+\infty$ \\\hline $-x+1$ & & $+$ & $|$ & $+$ & \mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} & $-$ &\\\hline $x+2$ & & $-$ & \mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} & $+$ & $|$ & $+$ &\\\hline $g(x)$ & & $-$ & \mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$} & $+$ & \mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} & $-$ & \\\hline \end{tabular}\]

  2. Soit $M(x;y)$ un éventuel point d'intersection des deux courbes, alors $y=f(x)$ et $y=g(x)$ et donc en particulier $y=f(x)=g(x)$, c'est-à-dire avec les expressions précédentes,
    \[\dfrac{x+3}{x+2}=\dfrac{-x+1}{x+2} \iff \dfrac{x+3}{x+2}-\dfrac{-x+1}{x+2}=\dfrac{2x+2}{x+2}=0\]

    On a donc une équation quotient nulle, avec $x\not=-2$ et $2x+2=0\iff x=-1$. Enfin, pour $x=2$, l'ordonnée correspondante est
    \[y=f(-1)=g(-1)=2\]

    Il y a donc un unique point d'intersection: $M(-1;2)$



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Exercice 3: Combinaisons avec un digicode

Le digicode ci-contre se trouve à l'entrée d'un immeuble.
Un code se compose, dans cet ordre, de 2 lettres, puis 3 chiffres.
Réaliser un arbre sommaire décrivant la situation et déterminer le nombre de codes possibles.

$$[t]{|c|c|c|}\hline %\usepackage{colortbl} \rowcolor[gray]{0.7}A & B & C \\\hline 1 & 2 & 3 \\\hline 4 & 5 & 6 \\\hline 7 & 8 & 9 \\\hline $$


Correction exercice 3

\[\begin{pspicture}(-1,-3.5)(12,6) \psline(2,-3)(0,0)(2,3) \psline(0,0)(2,0) \rput(2.5,3){A}\rput(2.5,0){B}\rput(2.5,-3){C} % \psline(4.5,3)(3,3)(4.5,4)\psline(3,3)(4.5,2) \rput(5,4){A}\rput(5,3){B}\rput(5,2){C} % \psline(7.5,4)(5.5,4)(7.5,5) \rput(8,5){1}\rput(8,4.6){$\vdots$}\rput(8,4){9} \psline(7.5,2.5)(5.5,3)(7.5,3.5) \rput(8,3.5){1}\rput(8,3.1){$\vdots$}\rput(8,2.5){9} \rput(6,2){\dots} \psline(10,5)(8.5,5)(10,5.5)\rput(10.2,5.5){1}\rput(10.2,5.3){$\vdots$} \psline(11.3,5.2)(10.4,5.5)(11.3,5.8)\rput(11.5,5.8){1}\rput(11.5,5.5){$\vdots$} % %% \psline(4.5,0)(3,0)(4.5,1)\psline(3,0)(4.5,-1) \rput(5,0){B}\rput(5,1){A}\rput(5,-1){C} \psline(7.5,.5)(5.5,1)(7.5,1.5) \rput(8,1.5){1}\rput(8,1){$\vdots$}\rput(8,.5){9} % \psline(3,-3)(4,-3)\rput(4.5,-3){\dots} \end{pspicture}\]

Le nombre total de codes possibles est donc de $3\tm3\tm9\tm9\tm9=3^2\tm9^3=6561$


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Exercice 4: Allemand et/ou espagnol

Dans une classe de 30 élèves, 20 étudient l'allemand et 15 l'espagnol. Dans cette classe 8 élèves étudient les deux langues.
On choisit un élève au hasard. On note les événements A:« l'élève étudie l'allemand»   et E:« l’élève étudie l’espagnol».
  1. Exprimer par une phrase les événements $A\cap E$ et $A\cup E$ et donner leur probabilité.
  2. Combien d'élèves n'apprennent ni l'allemand ni l'espagnol ?

Correction exercice 4
Dans une classe de 30 élèves, 20 étudient l'allemand et 15 l'espagnol. Dans cette classe 8 élèves étudient les deux langues.
On choisit un élève au hasard. On note les événements A:« l'élève étudie l'anglais» et E:« l’élève étudie l'espagnol».
  1. $A\cap E$:« l'élève étudie les deux langues» et $A\cup E$:« l'élève étudie au moins une des deux langues.
    On a d'après l'énoncé $P(A\cap E)=\dfrac8{30}$ et docn alors
    \[P(A\cup E)=P(A)+P(E)-P(A\cap E)=\dfrac{20}{30}+\dfrac{15}{30}-\dfrac8{30} =\dfrac{27}{30}\]

  2. D'après le calcul précédent, on trouve que 3 élèves n'apprennent ni l'anglais ni l'espagnol.



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Voir aussi:
ccc