Tableaux de signes et intersection de deux courbes

Exercice corrigé - maths en seconde générale

Énoncé

Soit $f(x)=2-\dfrac{x+1}{x+2}$ et $g(x)=\dfrac3{x+2}-1$.
  1. Donner les tableaux de signe de $f(x)$ et de $g(x)$.
  2. Déterminer les coordonnées des éventuels points d'intersection des courbes de $f$ et de $g$.



Correction

Correction

  1. Sur le même dénominateur, on a $f(x)=\dfrac{x+3}{x+2}$ et $g(x)=\dfrac{-x+1}{x+2}$ puis les tableaux de signe:
    \[\begin{tabular}[t]{|c|ccccccc|}\hline $x$&$-\infty$ & & $-3$ & & $-2$ & & $+\infty$ \\\hline $x+3$ & & $-$ & \mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} & $+$ & $|$ & $+$ &\\\hline $x+2$ & & $-$ & $|$ & $-$ & \mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} & $-$ &\\\hline $f(x)$ & & $+$ & \mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} & $-$ & \mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$} & $+$ & \\\hline \end{tabular}\]

    et
    \[\begin{tabular}[t]{|c|ccccccc|}\hline $x$&$-\infty$ & & $-2$ & & $1$ & & $+\infty$ \\\hline $-x+1$ & & $+$ & $|$ & $+$ & \mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} & $-$ &\\\hline $x+2$ & & $-$ & \mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} & $+$ & $|$ & $+$ &\\\hline $g(x)$ & & $-$ & \mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$} & $+$ & \mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} & $-$ & \\\hline \end{tabular}\]

  2. Soit $M(x;y)$ un éventuel point d'intersection des deux courbes, alors $y=f(x)$ et $y=g(x)$ et donc en particulier $y=f(x)=g(x)$, c'est-à-dire avec les expressions précédentes,
    \[\begin{array}{cll}&&\dfrac{x+3}{x+2}=\dfrac{-x+1}{x+2}\\[1em] &\iff&\dfrac{x+3}{x+2}-\dfrac{-x+1}{x+2}=\dfrac{2x+2}{x+2}=0\enar\]

    On a donc une équation quotient nulle, avec $x\not=-2$ et $2x+2=0\iff x=-1$.
    Enfin, pour $x=2$, l'ordonnée correspondante est
    \[y=f(-1)=g(-1)=2\]

    Il y a donc un unique point d'intersection: $M(-1;2)$


Tag:Inéquations et tableaux de signes

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