Devoir de maths corrigé, Systèmes d'équations, vecteurs et variation d'une fonction

seconde

Devoir de mathématiques, et corrigé, systèmes d'équations, les vecteurs (vecteurs colinéaires et alignement de points), et étude du sens de variation d'une fonction posé en seconde générale, année scolaire 2024/2025

Exercice 1: Détermination des paramètres d'une fonction

On considère la fonction $f$ définie par l'expression $f(x)=a+\dfrac{b}{x+1}$.
Déterminer les valeurs des coefficients $a$ et $b$ tels que la courbe représentative de cette fonction passe par les points $A(0;1)$ et $B(1;3)$.

Correction exercice 1


On a:
  • $A(0;1)\in\mathcal{C}_f\iff f(0)=1\iff a+b=1$
  • $B(1;3)\in\mathcal{C}_f\iff f(1)=3\iff a+\dfrac{b}2=3$
On cherche donc maintenant à résoudre le système:
\[\la\begin{array}{rcrcl}a&+&b&=&1\\a&+&\dfrac{b}2&=&3\enar\right.\]

En soustrayant ces deux équations, on obtient
\[\dfrac{b}2=-2\iff b=-4\]

puis en utilisant cette valeur dans la première équation, on obtient
\[a-4=1\iff a=5\]

et ainsi, l'expression de la fonction $f$ est
\[f(x)=5-\dfrac4{x+1}\]



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Exercice 2: Calculs de longueurs, points alignés, et coordonnées d'un point sur une droite

Dans un repère orthonormé du plan, on donne les points $A(-3;5)$, $B(2;3)$, $C(12;-1)$.
  1. Calculer les longueurs $AB$ et $BC$.
  2. Montrer que les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés.
  3. Déterminer les coordonnées du point $D$ qui est l'intersection de la droite $(AB)$ et de l'axe des abscisses.

Correction exercice 2


  1. $AB=\sqrt{(2+3)^2+(3-5)^2}=\sqrt{29}$ et $BC=\sqrt{(12-2)^2+(-1-3)^2}=\sqrt{116}=2\sqrt{29}$.
  2. $\overrightarrow{AB}(5;-2)$ et $\overrightarrow{AC}(15;-6)$. Alors, comme $5\tm(-6)-(-2)\tm15=-30+30=0$, les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires, et donc les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés.
  3. Soit $D(x;y)$. Comme $D$ est sur l'axe des abscisses, on a $y=0$, donc $D(x;0)$.
    De plus, $D$, $A$ et $B$ sont alignés, donc $\overrightarrow{AB}(5;-2)$ et $\overrightarrow{AD}(x+3;-5)$, sont colinéaires. On doit donc avoir $5\tm(-5)-(-2)\tm(x+3)=0\iff x=\dfrac{19}{2}$. D'où $D\lp\dfrac{19}{2};0\rp$.


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Exercice 3: Intersection de deux fonctions affines

Soit $f$ et $g$ les fonctions définies par les expressions $f(x)=-3x+1$ et $g(x)=2x-1$.
On note $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ les courbes représentatives de ces deux fonctions.
  1. Tracer $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ dans un repère.
  2. Calculer les coordonnées du point $I$ d'intersection de $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$.

Correction exercice 3



  1. \[\psset{unit=.7cm,arrowsize=7pt} \begin{pspicture*}(-3,-3.6)(5,5.5) \psline{->}(-2.2,0)(4.8,0) \psline{->}(0,-3.5)(0,6) \multido{\i=-3+1}{9}{\psline(.1,\i)(-.1,\i)\rput(-.2,\i){\i}} \multido{\i=-2+1}{7}{\psline(\i,.1)(\i,-.1)\rput(\i,-.3){\i}} \psplot[linecolor=blue,linewidth=1.2pt]{-3}{5}{-3 x mul 1 add}\rput(1.5,-1.8){\blue$\mathcal{C}_f$} \psplot{-3}{5}{2 x mul 1 sub}\rput(2.3,4.6){$\mathcal{C}_g$} \end{pspicture*}\]

  2. Soit $I(x;y)$ le point d'intersection de $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$, alors on a $\la\begin{array}{ccr} I(x;y)\in\mathcal{C}_f\iff y&=&-3x+1\\ I(x;y)\in\mathcal{C}_g\iff y&=&2x-1 \enar\right.$
    d'où $y=-3x+1=2x-1$ donc $-5x=-2\iff x=\dfrac25$, et alors $y=-3x+1=-3\tm\dfrac25+1=-\dfrac15$.
    Ainsi, le point d'intersection est $I\lp\dfrac25;-\dfrac15\rp$.


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Exercice 4: Etude du sens de variation d'une fonction avec un carré

On considère la fonction $f$ définie par l'expression $f(x)=-2x^2+5$.
  1. Décomposer la fonction $f$ en une suite d'opérations élémentaires.
  2. Déterminer le sens de variation de $f$ sur l'intervalle $[-5;0]$, puis sur l'intervalle $[0;5]$.
  3. Donner alors le tableau de variation de $f$ sur $[-5;5]$.

Correction exercice 4


On considère la fonction $f$ définie par l'expression $f(x)=-2x^2+5$.

  1. \[\psset{arrowsize=7pt}\begin{pspicture}(-1,-1)(10,.2) \rput(0,0){$x$} \psline{->}(.3,0)(1.8,0)\rput(.9,.3){carr\'e} \rput(2.2,0){$x^2$} \psline{->}(2.6,0)(4.1,0)\rput(3.2,.3){$\tm(-2)$} \rput(4.7,0){$-2x^2$} \psline{->}(5.3,0)(6.5,0)\rput(5.8,.3){$+5$} \rput(7.4,0){$-2x^2+5$} % \psline[arrowsize=7pt]{->}(0,-.3)(0,-1)(7.5,-1)(7.5,-.3) \rput(3.5,-.7){$f$} \end{pspicture}\]


  2. Sens de variation sur $[-5;0]$: soit deux nombres réels quelconques $a$ et $b$ tels que $-5\leqslant a<b\leqslant 0$
    alors $(-5)^2\geqslant a^2>b^2\geqslant0^2$: carrés de nombres négatifs
    donc $-2\tm(-5)^2\leqslant -2a^2<-2b^2\leqslant-2\tm0^2$: multiplication par $-2<0$
    d'où $-45\leqslant -2a^2+5<-2b^2+5\leqslant5$
    c'est-à-dire $-45\leqslant f(a) < f(b) \leqslant 5$ et donc $f$ conserve l'ordre et est donc croissante sur $[-5;0]$.

    De même sur $[2;5]$.
    Sens de variation sur $[0;5]$: soit deux nombres réels quelconques $a$ et $b$ tels que $0\leqslant a<b\leqslant 5$
    alors $0^2\leqslant a^2<b^2\leqslant5^2$
    donc $-2\tm0^2\geqslant -2a^2>-2b^2\geqslant-2\tm5^2$: multiplication par $-2<0$
    d'où $5\geqslant -2a^2+5>-2b^2+5\geqslant-45$
    c'est-à-dire $5\geqslant f(a) > f(b) \leqslant -45$ et donc $f$ conserve l'ordre et est donc croissante sur $[0;5]$.
  3. On a donc trouvé le tableau de variation
    \[\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline $x$ & $-5$ && 0 && 5 \\\hline &&&5&&\\ $f$&&\Large{$\nearrow$}&&\Large{$\searrow$}&\\ &$-45$&&&&$-45$\\\hline \end{tabular}\]



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Voir aussi:
ccc