Devoir de maths corrigé, Systèmes d'équations, vecteurs et fonctions

seconde

Devoir de mathématiques, et corrigé, sur la résolution de systèmes d'équations, les vecteurs (vecteurs colinéaires et alignement de points), et la courbe d'une fonction posé en seconde générale, année scolaire 2024/2025

Exercice 1: Résoudre le système de deux équations

Résoudre le système: $\la\begin{array}{ccr} 3x-y&=&5\\ -x+2y&=&5 \enar\right.$

Correction exercice 1



\[\la\begin{array}{ccr} 3x-y&=&5\\ -x+2y&=&5 \enar\right.\]

On multiplie par 3 la deuxième équation pour obtenir le système équivalent
\[\la\begin{array}{ccr} 3x-y&=&5\\ -3x+6y&=&15 \enar\right.\]

On ajoute alors les deux équations, ce qui nous donne
\[5y=20\iff y=4\]

On peut alors substituer cette valeur dans la deuxième équation
\[-x+2\tm4=5\iff x= 3\]

d'où la solution du système $x=3$ et $y=4$.

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Exercice 2: Déterminer les coordonnées d'un point sur une droite

Soit $ E(-2;4)$ et $ F(5;-1)$ . Déterminer l'ordonnée du point $ M$ de la droite $ (EF)$ dont l'abscisse est 2.

Correction exercice 2


Soit $ y$ l'ordonnée du point $ M$ qui a donc pour coordonnées $ (2;y)$ .

$ \overrightarrow{EM}$ a pour coordonnées $ \Big( 2-(-2);y-4\Big) = (4;y-4)$ .

$ \overrightarrow{EF}$ a pour coordonnées $ \Big( 5-(-2);-1-4\Big) = (7;-5)$ .

Le point $ M$ appartient à la droite $ (EF)$ si et seulement si les points $ E$ , $ F$ et $ M$ sont alignés, soit si et seulement si

$\displaystyle 4\times (-5)-7\times (y-4)=0 \iff -20-7y+28=0 \iff y=\dfrac{8}{7} $

L'ordonnée du point $ M$ est donc $ \dfrac{8}{7}$ .

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Exercice 3: Deux fonctions affines et des intersections

Soit $f$ et $g$ les fonctions définies par les expressions $f(x)=-2x+5$ et $g(x)=3x-1$.
On note $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ les courbes représentatives de ces deux fonctions.
  1. Déterminer les coordonnées du point $A$ d'intersection de $\mathcal{C}_f$ avec l'axe des ordonnées, et du point $B$ d'intersection de $\mathcal{C}_g$ avec l'axe des abscisses.
  2. Tracer $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ dans un repère.
  3. Calculer les coordonnées du point d'intersection de $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$.


Correction exercice 3


  1. Soit $A(x;y)$ alors comme $A$ appartient à l'axe des ordonnées, on a $x=0$, et, comme $A\in\mathcal{C}_f$, $y=-2x+5$ soit, avec $x=0$, $y=5$. Ainsi on trouve $A(0;5)$.
    Soit $B(x;y)$ alors comme $B$ appartient à l'axe des abscisses, on a $y=0$, puis comme $B\in\mathcal{C}_f$, $y=-2x+5$ soit, avec $y=0$, $2x=5\iff x=\dfrac52$. Ainsi, on trouve $B\lp\dfrac52;0\rp$.

  2. \[\psset{unit=.7cm,arrowsize=7pt} \begin{pspicture}(-1,-2)(4,5.5) \psline{->}(-1.2,0)(4,0) \psline{->}(0,-2)(0,6) \multido{\i=-1+1}{7}{\psline(.1,\i)(-.1,\i)\rput(-.2,\i){\i}} \multido{\i=-1+1}{5}{\psline(\i,.1)(\i,-.1)\rput(\i,-.3){\i}} \psplot{-.5}{3}{-2 x mul 5 add}\rput(2.5,.8){$\mathcal{C}_f$} \psplot{-.3}{2}{3 x mul 1 sub}\rput(2.3,4.6){$\mathcal{C}_g$} \end{pspicture}\]

  3. Soit $M(x;y)$ le point d'intersection de $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$, alors on a $\la\begin{array}{ccr} M(x;y)\in\mathcal{C}_f\iff y&=&-2x+5\\ M(x;y)\in\mathcal{C}_g\iff y&=&3x-1 \enar\right.$
    d'où $y=-2x+5=3x-1$ donc $5x=6\iff x=\dfrac65$, et alors $y=-2x+5=-2\tm\dfrac65+5=\dfrac{13}{5}$.
    Ainsi, le point d'intersection est $M\lp\dfrac65;\dfrac{13}{5}\rp$.


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Exercice 4: Détermination de l'expression d'une fonction


On considère la fonction $f$ définie par
\[f(x)=x^2+ax+b\]

où $a$ et $b$ sont des nombres réels que l'on cherche à déterminer.

On souhaite que la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de cette fonction $f$, passe par les points $A(-1;6)$ et $B(1;2)$.
 
Déterminer les réels $a$ et $b$ et donner l'expression de la fonction $f$ vérifiant ces deux conditions.

$$(-2,1.)(2,8) \psline[linewidth=1pt]{->}(-2.3,0)(3.5,0) \psline[linewidth=1pt]{->}(0,-0.4)(0,8.5) \rput(-0.3,-0.3){$O$} \rput(1,-0.3){$1$}\rput(-0.15,1.25){$1$} \multido{\i=-2+1}{6}{\psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](\i,-0.15)(\i,8.2)} \multido{\i=1+1}{8}{\psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](-2.2,\i)(3.2,\i)} \psplot[linewidth=1.3pt]{-1.5}{3.1}{x 2 exp -2 x mul add 3 add} \rput(-1.65,7.5){$\mathcal{C}_f$} \rput(-1,6){\Large $\tm$}\rput(-1.3,5.7){$A$} \rput(1,2){\Large $\tm$}\rput(1.3,1.7){$B$} $$


Correction exercice 4


Le point $A(-1;6)$ appartient à $\mathcal{C}_f$, donc, $f(-1)=6$, soit
\[\begin{array}{ll}f(-1)&=(-1)^2+a(-1)+b\\[.4em]&=1-a+b=6\enar\]



De même le point $B(1;2)$ appartient à $\mathcal{C}_f$, donc, $f(1)=2$, soit
\[\begin{array}{ll}f(1)&=1^2+a\tm1+b\\[.4em]&=1+a+b=2\enar\]


En résumé, on a le système de deux équations:
\[\la\begin{array}{rcrcrcc} 1 &-& a &+& b &=& 6 \\ 1 &+& a &+& b &=& 2\end{array} \right. \iff \la\begin{array}{rcrcc} -a &+& b &=& 5 \\ a &+& b &=& 1\end{array} \right.\]


En ajoutant les deux équations, on trouve $2b=6$, soit $b=3$.
En soustrayant les deux équations, on trouve $-2a=4$ soit $a=-2$.

En remplaçant finalement les valeurs trouvées pour $a$ et $b$ dans l'expression de $f(x)$, on trouve donc l'expression: $f(x)=x^2-2x+3$.

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Voir aussi:
ccc