Calcul sur les radicaux

Exercice corrigé - maths en seconde générale

Énoncé

Simplifier l'écriture de chacun des nombres suivants (les fractions ne devront pas avoir de radical au dénominateur), puis en déduire le plus petit ensemble ( ${\rm I\kern-.1567em N}$ , ${\sf Z\kern-4.5pt Z}$ , $\mathbb{Q}$ ou ${\rm I\kern-.1567em R}$ ) auquel il appartient :

$A= \dfrac{ {\left(1-\sqrt{3}~\right)}^2}{2- \sqrt{3}}$ ;

$B=\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{8}}{\sqrt{2}-\sqrt{8}}$ ;

$C= \dfrac{2 \sqrt{3} - 3 \sqrt{2}}{\sqrt{6}}$ ;

$D={\left( \sqrt{4-\sqrt{12}} - \sqrt{4+\sqrt{12}} \right)}^2$ .

Correction

$\begin{displaymath}\begin{array}{ll}A= \dfrac{ {\left(1-\sqrt{3}~\right)}^2}{2- ... ...3}~\right)\left(2+\sqrt{3}~\right)} =\dfrac{2}{1}=2 \end{array}\end{displaymath}$

donc $A\in{\rm I\kern-.1567em N}$ .

$\begin{displaymath}\begin{array}{l}B=\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{8}}{\sqrt{2}-\sqrt{8}... ...}\sqrt{8}}{-6} =\dfrac{10+2\sqrt{2\times 8}}{-6} =-3\end{array}\end{displaymath}$

donc $B\in{\sf Z\kern-4.5pt Z}$ .

$\begin{displaymath}\begin{array}{ll} C &= \dfrac{2 \sqrt{3} - 3 \sqrt{2}}{\sqrt{... ...ft(\sqrt{2}-\sqrt{3}~\right)}{6} =\sqrt{2}-\sqrt{3} \end{array}\end{displaymath}$

donc $C\in{\rm I\kern-.1567em R}$ .

$\begin{displaymath}\begin{array}{ll} D &=\left(\sqrt{4-\sqrt{12}} - \sqrt{4+\sqr... ...t{12} =8-2\sqrt{4^2-\sqrt{12}^2} =8-\sqrt{16-12} =6 \end{array}\end{displaymath}$

donc $D\in{\rm I\kern-.1567em N}$ .

Tag:Calcul algébrique

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