Devoir de maths corrigé, Calcul algébrique, équations

seconde

Devoir de mathématiques, et corrigé, sur les fractions, algébrique, développement et factorisation, posé en seconde générale, année scolaire 2024/2025

Exercice 1: Factoriser les expressions algébriques

Factoriser les expressions algébriques suivantes:

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Correction exercice 1

$\begin{array}{ll}A(x)&=(2x+1)\Bigl[(x-3)+(5x+2)\Bigr]\\[.5em] &=(2x+1)(6x-1)\enar$

$\begin{array}{ll}B(x)&=(-x+3)\Bigl[(2x+1)-(x-4)\Bigr]\\[.5em] &=(-x+3)\Bigl[2x+1-x+4\Bigr]\\[.5em] &=(-x+3)(x+5)\enar$

$\begin{array}{ll}C(x)&=\Bigl[(3x+1)-(x-2)\Bigr]\Bigl[(3x+1)+(x-2)\Bigr]\\[.5em] &=\Bigl[2x+3\Bigr]\Bigl[4x-1\Bigr]\enar$

$\begin{array}{ll}D(x)&=(x+3)\Bigl[(2x-5)-1\Bigr]\\[.5em] &=(x+3)(2x-6)\enar$

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Exercice 2: Simplifier les fractions

Ecrire sous la forme d'une seule fraction irréductible: $a=\dfrac13\tm\dfrac{12}{\dfrac49}-1$

$b=\dfrac3{2x-1}-2$ et $c=\dfrac{1}{2x-1}-\dfrac{1}{2x+1}$

Correction exercice 2

$a=\dfrac13\tm12\tm\dfrac94-1=8$

$b=\dfrac3{2x-1}-\dfrac{2(2x-1)}{2x-1}=\dfrac{-4x+5}{2x-1}$

$c=\dfrac{(2x+1)}{(2x-1)(2x+1)}-\dfrac{(2x-1)}{(2x+1)(2x-1)} =\dfrac{2}{4x^2-1}$

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Exercice 3: Fractions et racines carrées

Simplifier l'écriture des fractions (irréductibles et sans racine carrée au dénominateur):
$a=\dfrac{\sqrt{18}}{\sqrt2}$ ; $b=\dfrac{6}{\sqrt3}$ ; $c=\dfrac{24}{5+\sqrt3}$ et $d=\dfrac{(1-\sqrt3)^2}{2-\sqrt3}$

Correction exercice 3

$a=\dfrac{\sqrt{18}}{\sqrt2}=\sqrt{\dfrac{18}2}=\sqrt9=3$

$b=\dfrac{6}{\sqrt3}\tm\dfrac{\sqrt3}{\sqrt3}=\dfrac{6\sqrt3}3=2\sqrt3$

$\begin{array}{ll}c&=\dfrac{2}{5+\sqrt3}\tm\dfrac{5-\sqrt3}{5-\sqrt3}\\[.8em] &=\dfrac{2(5-\sqrt3)}{22}=\dfrac{5-\sqrt3}{11}\enar$

$\begin{array}{ll}d&=\dfrac{ {\lp1-\sqrt{3}~\right)}^2}{2- \sqrt{3}} = \dfrac{1+\lp\sqrt{3}~\rp^2-2\sqrt{3}}{2- \sqrt{3}}\\[.8em] &=\dfrac{4-2\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}} =\dfrac{\lp4-2\sqrt{3}~\rp\lp2+\sqrt{3}~\rp}{\lp2-\sqrt{3}~\rp\lp2+\sqrt{3}~\rp}\\[.6em] &=\dfrac{2}{1}=2 \enar$

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