Devoir de maths corrigé, Calcul algébrique, équations

seconde

Devoir de mathématiques, et corrigé, sur les fractions, algébrique, développement et factorisation, posé en seconde générale, année scolaire 2024/2025

Exercice 1: Calcul numérique avec des puissances

Simplifier les nombres suivants:

$\displaystyle x=\frac{9^2\times 2^7}{3^5\times 2^6} \hspace{1cm} y=\frac{(-3)^4\times 2^3\times 5^{-2}}{6^4\times 10^{-3}} $


Correction exercice 1



\[ x=\frac{(3^2)^2\,2^7}{3^5\,2^6}=\dfrac{3^4\,2^7}{3^5\,2^6} =3^{-1}2^{1}=\dfrac23\]


\[y=\dfrac{3^4\,2^3\,5^{-2}}{2^4\,3^4\,2^{-3}\,5^{-3}} =2^2\,3^0\,5^1=20\]



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Exercice 2: Calcul algébrique avec des puissances

Soit $ a$ et $ b$ deux nombres réels non nuls, et $ A=(a^{-3}b^{4})^3$ et $ B=a^3b^{-2}$ .

Ecrire les nombres $ A$ , $ A\times B$ et $ \displaystyle \frac{A}{B}$ sous la forme d'un produit $ a^nb^m$ .


Correction exercice 2


$ A=(a^{-3}b^{4})^3$ et $ B=a^3b^{-2}$ , alors
$ \bullet\ \ A=a^{-3\times 3}b^{4\times 3}=a^{-9}b^{12}$ $ \bullet\ \ A\times B=a^{-9}b^{12}a^3b^{-2}=a^{-6}b^{10}$ $ \displaystyle \bullet\ \ \frac{A}{B}=\frac{a^{-9}b^{12}}{a^3b^{-2}} =a^{-12}b^{14}$

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Exercice 3: Calcul algébrique avec des fractions

Factoriser les expressions suivantes:
$ A=(2x-5)^2-16$
$ B=(5x-3)(7x+4)-(5x-3)$

Correction exercice 3


On remarque une identité remarquable:
\[\begin{array}{ll}A&=(2x-5)^2-16\\ &=\Big((2x-5)-4\Big)\tm\Big((2x-5)+4\Big)\\ &=\left( 2x-9\rp\left( 2x-1\rp\enar\]


On factorise par le terme commun $(5x-3)$:
\[\begin{array}{ll}B&=(5x-3)(7x+4)-(5x-3)\\ &=(5x-3)\Big( (7x+4)-1 \Big)\\ &=(5x-3)(7x+3)\enar\]



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Exercice 4: Équations du 1er degré

Résoudre les équations:

$(E_1): 5x-4=2x+2$      $(E_2): \dfrac72x+1=2x+3$      $(E_3): x\sqrt3-3=\dfrac{12}3$

Correction exercice 4


$(E_1): 5x-4=2x+2 \iff 3x=6 \iff x=2$

$\begin{array}{ll}&(E_2): \dfrac72x+1=2x+3\\[1em] &\iff \dfrac72x-2x=\dfrac32x=2\\[1em] &\iff x=\dfrac2{\dfrac32}=2\tm\dfrac23=\dfrac43\enar$

$(E_3): x\sqrt3-3=\dfrac{12}3=4 \iff x=\dfrac7{\sqrt3}$

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Exercice 5: Développer, factoriser et résoudre des équations

On considère la fonction $ f(x)=(2x-3)(5-x)-x(5-x)$ .
  1. a) Développer $ f(x)$ .
    b) Factoriser $ f(x)$ .
  2. Résoudre les équations:
    a) $ f(x)=-15$ .
    b) $ f(x)=0$ .

Correction exercice 5


  1. a) $ f(x)=10x-2x^2-15+3x-5x+x^2=-x^2+8x-15$
    b) $ f(x)=(5-x)\Big( (2x-3)-x \Big) =(5-x)(x-3)$ .


  2. a) $ f(x)=-15\iff -x^2+8x-15=-15 \iff -x^2+8x=0 \iff x(-x+8)=0$ .

    Les solutions sont donc: $ \mathcal{S}=\left\{0 ; 8 \right\}$ .

    b) $ f(x)=0 \iff (5-x)(x-3)=0$ .

    Les solutions sont donc $ \mathcal{S}=\left\{3 ; 5 \right\}$ .



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Quelques autres devoirs




Voir aussi:
ccc