Identités remarquables

Éléments incontournables de calcul algébrique

I - Les trois identités remarquables


Les identités remarquables, ou égalités remarquables, sont les trois formules algébriques:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 (a + b)(a − b) = a2 − b2

a. Rappel: développement d'un produit, double distributivité


Algébriquement, ces identités reposent simplement sur les règles de calcul algébrique du développement de produits:
  1. Distributivité:
    a(b + c) = ab + ac

  2. Double produit, ou double distributivité:
    (a + b)(c + d) = a(c + d) + b(c + d) = ac + ad + bc + bd

b. Première identité remarquable:   (a + b)2 = a2 + 2ab + b2  


Algébriquement

Cette identité remarquable résulte du développement du carré et de la double distributivité:

(a + b)2 = (a + b)(a + b) = a×a + ab + ba + b×b = a2   +    2ab    +   b2


Géométriquement

Cette identité s'interprète bien évidemment géométriquement. "Bien évidemment" car un carré est bien sûr une figure géométrique.
Ainsi, (a + b)2 est l'aire du carré de côté a + b:
\begin{pspicture}(-1.2,-1)(3,3.2) \pspolygon(0,0)(3,0)(3,3)(0,3) \psline(1,0)(1,3)\psline(0,1)(3,1) \rput(.5,-.25){$a$} \rput(2,-.25){$b$} \rput(-.2,.5){$a$} \rput(-.2,2){$b$} \psline{<->}(0,-.6)(3,-.6)\rput(1.5,-.9){$(a+b)$} \psline{<->}(-.6,0)(-.6,3)\rput{90}(-.9,1.5){$(a+b)$} \pspolygon[fillstyle=vlines,hatchcolor=red](0,0)(1,0)(1,1)(0,1) \pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=white,linestyle=none](.5,.5){.22} \rput(.5,.5){$a^2$} \pspolygon[fillstyle=vlines,hatchcolor=blue](1,1)(3,1)(3,3)(1,3) \pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=white,linestyle=none](2,2){.22} \rput(2,2){$b^2$} \pspolygon[fillstyle=vlines,hatchcolor=black](0,1)(1,1)(1,3)(0,3) \pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=white,linestyle=none](.5,2){.22} \rput(.5,2){$ab$} \pspolygon[fillstyle=vlines,hatchcolor=black](1,0)(3,0)(3,1)(1,1) \pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=white,linestyle=none](2,.5){.22} \rput(2,.5){$ab$} \end{pspicture}

et où il apparaît assez clairement que dans le calcul de l'aire (a + b)2, il ne faut pas oublier le double produit 2ab qui est l'aire des rectangles latéraux:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Exemples

  1. (2 + 5)2 = 22 + 2 × 2 × 5 + 52 = 4 + 20 + 25 = 49
    ce qui est bien aussi égal à (2 + 5)2 = 72 = 49
  2. (x + 1)2 = x2 + 2 × x × 1 + 12 = x2 + 2x + 1
  3. x + 1/32 = x2 + 2 × x × 1/3 + 1/32 = x2 + 2/3x + 1/9
  4. (2x + 3)2 = (2x)2 + 2 × (2x) × 3 + 32 = 4x2 + 12x + 9

c. Deuxième identité remarquable: (a − b)2 = a2 − 2ab + b2


Algébriquement

Cette identité remarquable résulte aussi du développement du carré et de la double distributivité:

(a − b)2 = (a − b)(a − b) = a×a − ab − ba − b×(−b) = a2    − 2ab    +   b2  

On peut aussi voir cette indentité remarquable comme un cas particulier de la précédente:
(a − b)2 = (a + (−b))2 = a2 + 2a(−b) +(−b)2 = a2   − 2ab   +   b2

Géométriquement

Cette identité remarquable s'interprète bien sûr aussi géométriquement, avec des aires de … carrés.

\begin{pspicture}(-1,-1)(4,4) \pspolygon(0,0)(3,0)(3,3)(0,3) \rput(2.5,-.25){$b$} \rput(-.2,2.5){$b$} \psline{<->}(0,-.6)(3,-.6)\rput(1.5,-.9){$a$} \psline{<->}(-.6,0)(-.6,3)\rput{90}(-.9,1.5){$a$} \pspolygon[fillstyle=vlines,hatchcolor=red](0,0)(2,0)(2,2)(0,2) \psellipse[fillstyle=solid,fillcolor=white,linestyle=none](1,1.05)(.8,.35) \rput(1,1){$(a-b)^2$} \pspolygon[fillstyle=vlines,hatchcolor=blue](2,2)(3,2)(3,3)(2,3) \pspolygon[fillstyle=vlines,hatchcolor=blue](3,3)(4,3)(4,4)(3,4) \pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=white,linestyle=none](3.5,3.5){.22} \rput(3.5,3.5){$b^2$} \pspolygon[fillstyle=hlines,hatchsep=7pt,hatchcolor=black](0,2)(3,2)(3,3)(0,3) \pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=white,linestyle=none](1.5,2.5){.22} \rput(1.5,2.5){$ab$} \pspolygon[fillstyle=hlines,hatchsep=7pt,hatchcolor=black](2,0)(3,0)(3,2)(2,2) \pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=white,linestyle=none](2.5,1.5){.22} \rput(2.5,1.5){$ab$}\end{pspicture}

où en comptant cette fois l'aire ab des deux rectangles latéraux, on compte deux fois l'aire b^2 du carré de côté b, et donc
(a − b)2 + 2ab = a2 + b2

Exemples

  1. (5 − 2)2 = 52 − 2 × 5 × 2 + 22 = 25 − 20 + 4 = 9
    ce qui est bien aussi égal à (5 − 2)2 = 32 = 9
  2. (x − 1)2 = x2 − 2 × x × 1 + 12 = x2 − 2x + 1
  3. x − 1/32 = x2 − 2 × x × 1/3 + 1/32 = x2 − 2/3x + 1/9
  4. (2x − 3)2 = (2x)2 − 2 × (2x) × 3 + 32 = 4x2 − 12x + 9

d. Troisième identité remarquable:   (a + b)(a − b)= a2 − b2 

Algébriquement

On développe le produit dans lequel deux termes s'annulent:
(a + b)(a − b) = a × a + a ×(−b) + b × a + b ×(−b) = a2 − ab + ab − b2 = a2                  − b2

Géométriquement

On peut interpréter géométriquement cette dernière égalité à l'aide de carrés et de rectangles; il faut ici déplacer un rectangle pour faire apparaître le rectangle de côté (a + b):
\begin{pspicture}(-1,-1)(4.6,5.2) \pspolygon(0,0)(3,0)(3,3)(0,3) \rput(2.5,-.25){$b$} \rput(-.2,2.5){$b$} \psline{<->}(0,-.6)(3,-.6)\rput(1.5,-.9){$a$} \psline{<->}(-.6,0)(-.6,3)\rput{90}(-.9,1.5){$a$} \pspolygon[fillstyle=vlines,hatchcolor=red](0,0)(3,0)(3,2)(2,2)(2,3)(0,3) \psellipse[fillstyle=solid,fillcolor=white,linestyle=none](1,1.05)(.8,.35) \rput(1,1){$a^2-b^2$} \pspolygon[fillstyle=vlines,hatchcolor=blue](2,2)(3,2)(3,3)(2,3) \pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=white,linestyle=none](2.5,2.5){.22} \rput(2.5,2.5){$b^2$} \psline[linestyle=dashed](2,0)(2,2) \psline[linestyle=dashed](0,2)(2,2) \rput(-.2,3.5){$b$} \psarc[linewidth=1.4pt]{->}(3,2.5){1.5}{270}{125} \pspolygon[fillstyle=hlines,hatchsep=7pt](2,0)(3,0)(3,2)(2,2) \pspolygon[fillstyle=hlines,hatchsep=7pt](0,3)(2,3)(2,4)(0,4) \psline{<->}(0,4.6)(2,4.6) \rput(1,4.9){$(a-b)$}\end{pspicture}

a2 − b2 = (a + b)(a − b)

Exemples

  1. (x + 3)(x − 3) = x2 − 32 = x2 − 9
  2. (2x + 6)(2x − 6) = (2x)2 − 62 = 4x2 − 36
  3. x2 − 1 = x2 − 12 = (x + 1)(x − 1)
  4. x2 − 5 = (x + 5) (x − 5)
  5. 4 − 3 = (4 + 3) (4 − 3) = 1

II - Identités remarquables pour le développement d'expressions algébriques

Développer une expression algébrique consiste à transformer les produits en additions et/ou soustractions.


Dans les expressions précédentes des identités remarquables, le terme de gauche de l'égalité est factorisé, celui de droite est développé.

4. Exercices. Développer les expressions algébriques suivantes:

  1. (x + 2)2

  2. (x − 3)2

  3. (x − y)2

  4. (x − 2)(x + 2)

  5. (2x − 3)(2x + 3)

  6. (x − 2y)(x + 2y)

  7. (2x + 3)2

  8. (3x − 2)2

  9. 3x + 1/32

  10. 1/2x − 42

  11. (3x − 4)2(x + 2)

  12. (x + 3)3

III - Identités remarquables pour la factorisation d'expressions algébriques

Factoriser une expression consiste à tranformer les sommes et différences en produits.

Pour factoriser une expression, on peut soit:
  • identifier un terme commun et le mettre en facteur
  • utiliser une identité remarquable

Dans les expressions précédentes des identités remarquables, le terme de gauche de l'égalité est factorisé, celui de droite est développé.

Exemples de factorisation

  • 3x + 2x = x (3 + 2) = 5x
  • 6x − kx = x (6 − k)
  • 3(x + 2) + (x + 1)(x +2) = (x + 2) (3 + (x + 1)) = (x + 2)( x + 4)
  • (x + 1)(3x + 2) + (x + 1)(x + 5) = (x + 1)((3x + 2) + (x + 5)) = (x + 1)( 4x + 7)
  • x2 − 9 = x2 − 32 = (x − 3)( x + 3)
  • (3x + 2)2 − (x + 2)2 = ((3x + 2) − (x + 2)) ((3x + 2) + (x + 2)) = (2x)(4x + 4)
    On peut encore factoriser cette expression:
    (2x)(4x + 4) = (2x)4(x + 1) = 8x(x + 1)


Exercices. Factoriser les expressions suivantes:

  • A(x) = (2x − 3)(x − 2) + (2x − 3)(x + 4)

  • B(x) = (x − 3)(3x − 7) − (x − 3)(x + 4)

  • C(x) = (5x + 3)(x + 2) + (3 − 4x)(x + 2)

  • D(x) = (2x + 2)(3x − 3) − (x − 3)(2x + 2)

  • E(x) = (3x2 + 2x)(x − 6) − (x + 7)(3x2 + 2x)

  • F(x) = ( −2x + 5)2 + ( −2x + 5)(3x − 4)

  • G(x) = (x + 2)2 − 9

  • H(x) = (2x + 3)2 − (x − 3)2

  • I(x) = 2(x2 − 9) − (x − 3)(x + 2)

Voir aussi
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