Devoir de maths corrigé, Calcul algébrique, fractions, développer et factoriser

seconde

Devoir de mathématiques, et corrigé, sur les fractions, algébrique, développement et factorisation, posé en seconde générale, année scolaire 2024/2025

Exercice 1: Calcul numérique avec des fractions

Exprimer sous forme de fraction irréductible:


Correction exercice 1


On calcule tout d'abord le numérateur, en mettant les fractions sur le même dénominateur, et ensuite en multiplie par l'inverse de la fraction au dénominateur:
\[a=\frac{\displaystyle \frac{3}{7}-\frac{2}{5}}{\displaystyle \frac{3}{5}} =\frac{\displaystyle \frac{1}{7\tm5}}{\displaystyle \frac{3}{5}} =\frac{1}{7\tm5}\tm\frac{5}{3} =\frac{1}{21}\]


On calcule tout d'abord le terme entre parenthèses:
\[\begin{array}{ll}b&=2-5\lp\dfrac75-1\rp^2\\ &=2-5\lp\dfrac25\rp^2=2-5\tm\dfrac{2^2}{5^2}\\ &=2-\dfrac45=\dfrac65 \enar\]



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Exercice 2: Calcul algébrique avec des fractions

Ecrire les expressions suivantes sous la forme d'une seule fraction dont les numérateurs et dénominateurs seront développés:

$A(x)=\dfrac{2}{3x+4}+\dfrac{5}{6x+7}$  ;      $B(x)=\dfrac{1-x^2}{1-2x}-\dfrac{1+2x}{4}$  ;      $C(x)=\dfrac{3x+2}{2x-3}-1$

Correction exercice 2


$A(x)=\dfrac{2}{3x+4}+\dfrac{5}{6x+7} =\dfrac{2(6x+7)+5(3x+4))}{(3x+4)(6x+7)} =\dfrac{27x+34}{18x^2+45x+28}$

$B(x)=\dfrac{1-x^2}{1-2x}-\dfrac{1+2x}{4} =\dfrac{4\lp1-x^2\rp-(1+2x)(1-2x)}{4(1-2x)} =\dfrac{4-4x^2-\lp1-4x^2\right)}{4(1-2x)} =\dfrac{3}{4-8x}$

$C(x)=\dfrac{3x+2}{2x-3}-1=\dfrac{3x+2-(2x-3)}{2x-3} =\dfrac{x+5}{2x-3}$

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Exercice 3: Développer les expressions algébriques

Développer les expressions algébriques suivantes (réduire et ordonner les expressions développées suivant les puissances décroissantes de $x$):
$A(x)=(3x-2)^2$    ;    $B(x)=(2x+1)(3x-5)$    ;    $C(x)=(2x-3)(x+1)-(2x-1)^2$

Correction exercice 3


$A(x)=(3x)^2-2\tm(3x)\tm2+2^2=9x^2-12x+4$

$B(x)=6x^2-10x+3x-5=6x^2-7x-5$

$\begin{array}{ll}C(x)&=2x^2+2x-3x-3-\bigl((2x)^2-2(2x)\tm1+1^2\bigr)\\[.5em] &=2x^2-x-3-\bigl(4x^2-4x+1\bigr)\\[.5em] &=-2x^2+3x-4\enar$


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Exercice 4: Factoriser les expressions algébriques

Factoriser les expressions algébriques suivantes:
$A(x)=(2x+1)(x-3)+(2x+1)(5x+2)$    ;    $B(x)=(-x+3)(2x+1)-(-x+3)(x-4)$

$C(x)=(3x+1)^2-(x-2)^2$    ;    $D(x)=(2x-5)(x+3)-(x+3)$

Correction exercice 4


$\begin{array}{ll}A(x)&=(2x+1)\Bigl[(x-3)+(5x+2)\Bigr]\\[.5em] &=(2x+1)(6x-1)\enar$

$\begin{array}{ll}B(x)&=(-x+3)\Bigl[(2x+1)-(x-4)\Bigr]\\[.5em] &=(-x+3)\Bigl[2x+1-x+4\Bigr]\\[.5em] &=(-x+3)(x+5)\enar$

$\begin{array}{ll}C(x)&=\Bigl[(3x+1)-(x-2)\Bigr]\Bigl[(3x+1)+(x-2)\Bigr]\\[.5em] &=\Bigl[2x+3\Bigr]\Bigl[4x-1\Bigr]\enar$

$\begin{array}{ll}D(x)&=(x+3)\Bigl[(2x-5)-1\Bigr]\\[.5em] &=(x+3)(2x-6)\enar$


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Voir aussi:
ccc