Devoir de maths corrigé, équations & calcul algébrique

seconde

Devoir de mathématiques, et corrigé, sur la résolution d'équations (produit nul, quotient nul, équation avec un carré,…) et deux simplifications de calculs avec des puissances, posé en seconde générale, année scolaire 2024/2025

Exercice 1: Simplifier les calculs avec des puissances

Simplifier les nombres suivants: $a=\dfrac{10^{10}\times 2^3}{5^8\times4^6}$ et $b=8x\dfrac{4x^8}{(2x)^5}$

Correction exercice 1


$a=\dfrac{(2\tm5)^{10}\tm 2^3}{5^8\tm(2^2)^6} =\dfrac{2^{10}5^{10}2^3}{5^82^{12}} =2^{10+3-12}5{10-8} =2^15^2 =50 $
$b=8x\dfrac{4x^8}{(2x)^5}=\dfrac{2^3x2^2x^8}{2^5x^5} =2^{3+2-5}x^{1+8-5}=2^0x^4=x^4$

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Exercice 2: Équations à résoudre

Résoudre les équations:
  1. $(E_1):\ (2x-3)(x+6)-(x+6)=0$

  2. $(E_2):\ (x^2-5)(3x+7)=0$

  3. $(E_3):\ (2x+3)(4x-1)=(2x+3)^2$

  4. $(E_4):\ \dfrac{x^2-36}{2x-12}=0$

  5. $(E_5):\ \dfrac{4}{2x+5}-\dfrac{1}{x-3}=0$

  6. $(E_6):\ (2x-1)^2=49$

  7. $(E_7):\ x\sqrt3+5=5x+8$

Correction exercice 2


  1. On factorise le terme commun:
    \[\begin{array}{ll}(E_1):\ &(2x-3)(x+6)-(x+6)=0\\ \iff &(x+6)\Big[(2x-3)-1\Big]=0\\ \iff &(x+6)\left[ 2x-4\rb=0\enar\]

    et on a maintenant une équation produit nul:
    \[(E_1)\iff\la\begin{array}{lll} &x+6=0 \\ \mbox{ou, } &2x-4=0\enar\right. \iff \la\begin{array}{rl} x=-6 \\ \mbox{ou, } x=2\enar\right.\]

    d'où les solutions $\mathcal{S}_1=\left\{ -6\,;\,2\right\}$

  2. $(E_2)$ est une équation produit nul:

    \[(E_2)\iff \la\begin{array}{rl}x^2-5=0 \\ \mbox{ou, } 3x+7=0\enar\right. \iff \la\begin{array}{rl} x^2=5 \\ \mbox{ou, } x=-\dfrac{7}{3}\enar\right. \iff \la\begin{array}{ll} x=-\sqrt{5}\ \mbox{ou, } x=\sqrt{5} \\ \mbox{ou, } x=-\dfrac{7}{3}\enar\right.\]

    d'où les solutions $\mathcal{S}_2=\left\{ -\dfrac{7}{3}\,;\,-\sqrt{5}\,;\,\sqrt{5}\right\}$

  3. $(E_3):\ (2x+3)(4x-1)=(2x+3)^2\iff (2x+3)(4x-1)-(2x+3)^2=0$
    puis on factorise par le terme commun:
    \[\begin{array}{ll}(E_3)&\iff (2x+3)\Bigl[(4x-1)-(2x+3)\Bigr]=0\\ &\iff (2x+3)(2x-4)=0\enar\]

    On a maintenant une équation produit nul: $(E_3)\iff\la\begin{array}{rl}2x+3=0\\\mbox{ou, }2x-4=0\enar\right.$ et on trouve donc deux solutions $\mathcal{S}_3= \left\{-\dfrac32 ; 2 \right\}$

  4. $(E_4)$ est une équation quotient nul:
    \[(E_4) \iff \la\begin{array}{rl} x^2-36=0 \\ \mbox{et, }2x-12\not=0\enar\right. \iff \la\begin{array}{rl} x^2=36 \\ \mbox{et, }x\not=6\enar\right. \iff \la\begin{array}{ll} x=-6\ \mbox{ou,}\ x=6 \\ \mbox{et, } x\not=6\enar\right.\]

    d'où la solution $\mathcal{S}_4=\left\{ -6\right\}$

  5. On met tout d'abord les deux fractions sur le même dénominateur:
    \[\dfrac{4}{2x+5}-\dfrac{1}{x-3}=\dfrac{2x-17}{(2x+5)(x-3)}\]

    et on a alors une équation quotient nul:
    \[(E_5)\iff \iff \la\begin{array}{rl}2x-17=0 \\ \mbox{et, }(2x+5)(x-3)\not=0\enar\right. \iff \la\begin{array}{ll} &x=\dfrac{17}{2} \\ \mbox{et, }&x\not=-\dfrac{5}{2}\ \mbox{et, } x\not=3\enar\right. \]


    d'où la solution $\mathcal{S}_5=\left\{ \dfrac{17}{2}\right\}$
  6. $(E_6):\ (2x-1)^2=49 \iff \la\begin{array}{rl}2x-1=-7 \\ \mbox{ou, }2x-1=7\enar\right. \iff \la\begin{array}{rl}x=-3 \\ \mbox{ou, }x=4\enar\right.$ d'où $\mathcal{S}_6=\left\{ -3\,;\,4 \right\}$

  7. $(E_7):\ x\sqrt3+5=5x+8\iff x\sqrt3-5x=8-5\iff x(\sqrt4-5)=3$
    d'où la solution $\mathcal{S}_7=\left\{ \dfrac{3}{\sqrt3-5}\right\}$.


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