Résolution d'équations

Les équations qu'il faut savoir résoudre en seconde (et bien après)

"Une démonstration n'est pas autre chose que la résolution d'une vérité en d'autres vérités déjà connues."

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 - 1716)
Mathématicien, philosophe, scientifique, diplomate, bibliothécaire et homme de loi allemand

Résoudre une équation: définition

Résoudre une équation, par exemple A(x) = 0 où A(x) est une expression algébrique contenant l'inconnue où x, consiste à trouver toutes les solutions de l'équation, c'est-à-dire toutes les valeurs du nombre x telles que l'égalité A(x) = 0 est vraie.

Exemple: Pour l'équation 2x² − 3x − 5 = 0 on peut vérifier que x = −1 est une solution.
En effet, si on remplace x par −1, on a bien:

2x² − 3x − 5 = 2(−1)² − 3(−1) − 5 = 2 + 3 − 5 = 0

Ainsi, x = −1 est bien une solution de cette équation. Par contre on ne peut pas affirmer avoir résolu celle-ci car on ne sait pas, a priori, si il y en a d'autres.
On ne connaît ainsi pas toutes les solutions.
On pourrait vérifier de même que x = 52 est aussi une solution: −1, on a bien:

2x² − 3x − 5 = 2 52² − 352 − 5 = 2 = 2× 5² 2² − 3×52 − 5 = 25 2 − 152 − 5 = 25 2 − 152 − 102 = 0

On connaît donc une deuxième solution, mais on ne peut pas encore affirmer avoir résolu l'équation…

L'objectif de ce qui suit est justement la résolution d'équations, c'est-à-dire la détermination de toutes les solutions d'une équation (les trouver, et être sûr de les avoir toutes).

On sait résoudre seulement cinq types d'équation. Toutes les équations vues en seconde, première, terminale, et bien après (équations du 2^nd degré, ou de degré supérieur, équations trigonométriques, logarithmiques, …), reposent ensuite sur ces cinq types.

Équation du 1er degré

Les équations du premier degré: ax + b = 0 avec a ≠ 0
qui admettent une unique solution

ax + b = 0 ⇔ x = − ba

Équation produit nul

Les équations produits nuls: A(x) × B(x) = 0
Un produit est nul si et seulement un de ses facteurs est nul, donc,

A(x) × B(x) = 0 ⇔ A(x) = 0 ou B(x) = 0

Remarque 1: Bien sûr, il peut y avoir bien plus de deux facteurs, par exemple pour trois facteurs:

A(x) × B(x) × C(x) = 0 ⇔ A(x) = 0 ou B(x) = 0 ou C(x) = 0

Remarque 2: Les équations produits sont fondamentales. Elles permettent de décomposer, de manière équivalente, une équation en plusieurs équations plus simples.
Lorsqu'une équation n'est pas directement sous la forme de produits de facteurs, il est souvent possible de la transformer pour les faire apparaître: on factorise alors l'expression.
Pour cette raison particulière, savoir factoriser une expression est une opération fondamentale en mathématiques.

Équation quotient nul

Les équations quotients nuls: A(x)B(x) = 0

Un quotient est nul si et seulement son numérateur est nul et son dénominateur est non nul, donc,

A(x)B(x) = 0 ⇔ A(x) = 0 et B(x) ≠ 0

Remarque: Les valeurs de x pour lesquelles le dénominateur est nul: B(x)≠0, en dehors même de toute équation, font en sorte que le quotient A(x)B(x) n'existe pas (la division par 0 n'existe pas !).
Ces valeurs de x s'appellent des valeurs interdites pour l'expression A(x)B(x) et ne risquent pas, d'aucune façon, d'être solutions de l'équation.

Équation avec un carré

Les équations (de type) carré: (A(x))² = a

pour lesquelles, selon la valeur du nombre réel a:

si a < 0: n'l'équation n'a aucune solution
(un carré ne pouvant être égal à un nombre négatif)
si a = 0: l'équation est équivalente à A(x) = 0.
si a > 0: l'équation est équivalente à
A(x) = a ou A(x) = − a

Équation avec une racine carrée

Les équations (de type) racine carrée: A(x) = a

pour lesquelles, selon les valeurs du nombre réel a,

si a < 0: l'équation n'a aucune solution
(une racine carrée ne pouvant être égale à un nombre négatif)
si a≥0 l'équation est équivalente à A(x) = a² et A(x)≥0.

Remarque: Les valeurs de x pour lesquelles on a A(x)<0, en dehors même de toute équation, font en sorte que la racine carrée A(x) n'existe pas (la racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas dans les nombres réels !).
Ces valeurs de x s'appellent des valeurs interdites pour l'expression A(x) et ne risquent pas, d'aucune façon, d'être solutions de l'équation.

Exemples détaillés

On donne maintenant un exemple pour chacun de ces types d'équation.

Exemple 1: (E₁) : 3x + 6 = 0
(E₁) est une équation du premier degré et se résout suivant:
(E₁) : 3x + 6 = 0 ⇔ x = − 63 = −2

Exemple 2: (E₂) : (3x + 6) (−2x + 10) = 0
(E₂) est une équation produit nul et on a donc:

A(x) × B(x) = 0 (3x + 6) × (−2x + 10) = 0 ⇔ (3x + 6) = 0 ou (−2x + 10) = 0

Ces deux dernières équations sont maitenant des équations plus simples du 1^er degré:

3x + 6 = 0 ou −2x + 10 = 0 ⇔ x = − 63 = −2 ou x = − 10−2 = 5

L'équation (E₂) a donc deux solutions: x = −2 et x = 5.

Exemple 3: (E₃):3x + 6 − 2x + 10 = 0
(E₃) est une équation quotient nul et on a donc:

A(x)B(x) = 0 ⇔ A(x) = 0 et B(x) ≠ 0 ⇔ (3x + 6) = 0 et (−2x + 10) ≠ 0 ⇔ x = − 63 = −2 et x ≠ − 10−2 = 5

x = −2 est donc la solution de (E₃), car on vérifie bien que x = −2 ≠ 5 (5 est la valeur interdite pour le quotient).
L'équation (E₃) a donc une unique solution x = −2.

Exemple 4: (E₄) : (3x + 6)² = 9
(E₄) est une équation (de type) carré: (A(x))² = a, avec le nombre réel a = 9 > 0, et donc:

(A(x))² = a ⇔ A(x) = a ou A(x) = − a

soit ici,

(3x + 6)² = 9 ⇔ 3x + 6 = 9 = 3 ou 3x + 6 = − 9 = −3

Ces deux dernières équations sont des équations plus simples du 1^er degré:

3x + 6 = 3 ou 3x + 6 = = −3 ⇔ 3x= 3 −6 = −3 ou 3x = −3 −6 = −9 ⇔ x = −33 = −1 ou 3x = −93 = −3

Ainsi, l'équation (E₄) a deux solutions x = −1 et x = −3.

Exemple 5: (E₅): 3x + 6 = 3
(E₅) est une équation (de type) racine carrée: (E₅): A(x) = a, avec le nombre réel a = 3 > 0: