Résolution d'équations
Les équations qu'il faut savoir résoudre en seconde (et bien après)
"Une démonstration n'est pas autre chose que la résolution d'une vérité
en d'autres vérités déjà connues."
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 - 1716)
Mathématicien, philosophe, scientifique, diplomate, bibliothécaire et homme de loi allemand
Mathématicien, philosophe, scientifique, diplomate, bibliothécaire et homme de loi allemand
Résoudre une équation: définition
Résoudre une équation, par exemple
A(x) = 0
où A(x)
est une
expression algébrique contenant l'inconnue où x,
consiste à trouver toutes les solutions
de l'équation, c'est-à-dire
toutes les valeurs du nombre
x telles
que l'égalité
A(x) = 0 est vraie.
Exemple:
Pour l'équation
2x2 − 3x − 5 = 0
on peut vérifier que
x = −1
est une solution.
En effet, si on remplace x par −1, on a bien:
On ne connaît ainsi pas toutes les solutions.
On pourrait vérifier de même que x = 52 est aussi une solution: −1, on a bien:
On connaît donc une deuxième solution, mais on ne peut pas encore affirmer avoir résolu l'équation…
En effet, si on remplace x par −1, on a bien:
2x2 − 3x − 5
=
2(−1)2 − 3(−1) − 5
=
2 + 3 − 5
=
0
Ainsi, x = −1 est bien une solution de cette équation.
Par contre on ne peut pas affirmer avoir résolu celle-ci car on ne
sait pas, a priori, si il y en a d'autres.
On ne connaît ainsi pas toutes les solutions.
On pourrait vérifier de même que x = 52 est aussi une solution: −1, on a bien:
2x2 − 3x − 5
=
2
522 − 352 − 5
=
2
=
2×
52
22
− 3×52
− 5
=
25
2
− 152
− 5
=
25
2
− 152
− 102
=
0
On connaît donc une deuxième solution, mais on ne peut pas encore affirmer avoir résolu l'équation…
L'objectif de ce qui suit est justement la résolution d'équations,
c'est-à-dire la détermination de toutes les solutions d'une équation
(les trouver, et être sûr de les avoir toutes).
On sait résoudre seulement cinq types d'équation. Toutes les équations vues en seconde, première, terminale, et bien après (équations du 2nd degré, ou de degré supérieur, équations trigonométriques, logarithmiques, …), reposent ensuite sur ces cinq types.
On sait résoudre seulement cinq types d'équation. Toutes les équations vues en seconde, première, terminale, et bien après (équations du 2nd degré, ou de degré supérieur, équations trigonométriques, logarithmiques, …), reposent ensuite sur ces cinq types.
Équation du 1er degré
Les équations du premier degré:
ax + b = 0
avec a ≠ 0
qui admettent une unique solution
qui admettent une unique solution
ax + b = 0 ⇔ x = − ba
Équation produit nul
Les équations produits nuls:
A(x) × B(x) = 0
Un produit est nul si et seulement un de ses facteurs est nul, donc,
Un produit est nul si et seulement un de ses facteurs est nul, donc,
A(x) × B(x) = 0
⇔
A(x) = 0
ou
B(x) = 0
Remarque 1: Bien sûr, il peut y avoir bien plus de deux facteurs, par exemple pour trois facteurs:
A(x) × B(x) × C(x) = 0
⇔
A(x) = 0
ou
B(x) = 0
ou
C(x) = 0
Remarque 2: Les équations produits sont fondamentales.
Elles permettent de décomposer, de manière équivalente, une équation en plusieurs équations plus simples.
Lorsqu'une équation n'est pas directement sous la forme de produits de facteurs, il est souvent possible de la transformer pour les faire apparaître: on factorise alors l'expression.
Pour cette raison particulière, savoir factoriser une expression est une opération fondamentale en mathématiques.
Lorsqu'une équation n'est pas directement sous la forme de produits de facteurs, il est souvent possible de la transformer pour les faire apparaître: on factorise alors l'expression.
Pour cette raison particulière, savoir factoriser une expression est une opération fondamentale en mathématiques.
Équation quotient nul
Les équations quotients nuls:
A(x)B(x) = 0
Un quotient est nul si et seulement son numérateur est nul et son dénominateur est non nul, donc,
Un quotient est nul si et seulement son numérateur est nul et son dénominateur est non nul, donc,
A(x)B(x) = 0
⇔
A(x) = 0
et
B(x) ≠ 0
Remarque: Les valeurs de x pour lesquelles le dénominateur est nul: B(x)≠0, en dehors même de toute équation, font en sorte que le quotient A(x)B(x) n'existe pas (la division par 0 n'existe pas !).
Ces valeurs de x s'appellent des valeurs interdites pour l'expression A(x)B(x) et ne risquent pas, d'aucune façon, d'être solutions de l'équation.
Équation avec un carré
Les équations (de type) carré:
(A(x))2 = a
pour lesquelles, selon la valeur du nombre réel a:
pour lesquelles, selon la valeur du nombre réel a:
- si a < 0:
n'l'équation n'a aucune solution
(un carré ne pouvant être égal à un nombre négatif) - si a = 0:
l'équation est équivalente à A(x) = 0.
- si a > 0:
l'équation est équivalente à
A(x) = a ou A(x) = − a
Équation avec une racine carrée
Les équations (de type)
racine carrée:
A(x) = a
pour lesquelles, selon les valeurs du nombre réel a,
pour lesquelles, selon les valeurs du nombre réel a,
- si a < 0: l'équation n'a aucune solution
(une racine carrée ne pouvant être égale à un nombre négatif) - si a≥0 l'équation est équivalente à A(x) = a2 et A(x)≥0.
Remarque: Les valeurs de x pour lesquelles on a A(x)<0, en dehors même de toute équation, font en sorte que la racine carrée A(x) n'existe pas (la racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas dans les nombres réels !).
Ces valeurs de x s'appellent des valeurs interdites pour l'expression A(x) et ne risquent pas, d'aucune façon, d'être solutions de l'équation.
Exemples détaillés
On donne maintenant un exemple pour chacun de ces types d'équation.
Exemple 1:
(E1) : 3x + 6 = 0
(E1) est une équation du premier degré et se résout suivant:
(E1) : 3x + 6 = 0
⇔ x = − 63
= −2
Exemple 2:
(E2) : (3x + 6) (−2x + 10) = 0
(E2) est une équation produit nul et on a donc:
A(x) × B(x) = 0
(3x + 6) × (−2x + 10) = 0
⇔
(3x + 6) = 0
ou
(−2x + 10) = 0
Ces deux dernières équations sont maitenant des équations plus simples
du 1er degré:
3x + 6 = 0
ou
−2x + 10 = 0
⇔
x
= − 63
= −2
ou
x
= − 10−2
= 5
L'équation
(E2)
a donc deux solutions:
x = −2
et
x = 5.
Exemple 3:
(E3):3x + 6 − 2x + 10 = 0
(E3) est une équation quotient nul et on a donc:
A(x)B(x) = 0
⇔
A(x) = 0
et
B(x) ≠ 0
⇔
(3x + 6) = 0
et
(−2x + 10) ≠ 0
⇔
x
= − 63
= −2
et
x
≠ − 10−2
= 5
x = −2 est donc la solution de
(E3), car on vérifie bien que
x = −2 ≠ 5
(5 est la valeur interdite pour le quotient).
L'équation (E3)
a donc une unique solution x = −2.
Exemple 4: (E4) : (3x + 6)2 = 9
(E4)
est une équation (de type) carré:
(A(x))2 = a,
avec le nombre réel
a = 9 > 0, et donc:
(A(x))2 = a
⇔
A(x) = a
ou
A(x) = − a
soit ici,
(3x + 6)2 = 9
⇔
3x + 6 = 9 = 3
ou
3x + 6 = − 9 = −3
Ces deux dernières équations sont des équations plus simples du 1er degré:
3x + 6 = 3
ou
3x + 6 = = −3
⇔
3x= 3 −6 = −3
ou
3x = −3 −6 = −9
⇔
x = −33 = −1
ou
3x = −93 = −3
Ainsi, l'équation
(E4) a deux solutions
x = −1 et
x = −3.
Exemple 5: (E5): 3x + 6 = 3
(E5) est une équation (de type) racine carrée:
(E5): A(x) = a,
avec le nombre réel
a = 3 > 0:
A(x) = a
⇔
A(x) = a2
et
A(x) > 0
donc ici
3x + 6 = 3
⇔
3x + 6 = 32 = 9
et
3x + 6 > 0
La première équation est du 1er degré, et se résout
simplement:
3x + 6 = 9
⇔ 3x = 9 − 6 = 3
⇔ x =
33 = 1
On vérifie bien de plus, que pour
x = 1 on a
A(x) = 3x + 6 = 3×1 + 6 = 9 > 0
L'équation (E5) a donc une unique solution
x = 1.
Exercices corrigés: résolution d'équations
Résoudre les équations:
- 2x −6 = −2
- 5x + 6 = −3x −10
- − x − 5 = 9
- − 2x + 3 = 4x + 27
- (x + 3)( − 2x + 6) = 0
- (2x − 6)(3x + 7)( − 2x − 10) = 0
- (x + 2)(2x + 3) + (x + 2)( − x + 5) = 0
- (3x − 5)(x + 3) = (3x − 5)( − 3x − 1)
- 3x − 9x + 1 = 0
- (x + 5)(2x − 4)2x + 6=0
- (3x − 15)(4x + 16)2x − 10 = 0
- 2x − 1x + 1 + 2 = 0
- 2x + 2 = 4x + 4
- x2 = 9
- (2x + 5)2 = 25
- (−2x + 35)2= − 4
- x2 − 9x + 1 = 0
- 2x − 8x = 0
- 3x + 2 = 3
- 6x2 + 3 = −6
- (2x − 7 − 3)
((x − 2)2 − 9)
= 0
- (x2 + x)1 − 62x + 3
= 0
- x − 1x(x2 + 2)2 − 4x + 2
= 0
Quelques devoirs
calcul algébrique: calculs avec des puissance, factoriser des expressions algébriques, et résoudre des premières équations
sur la résolution d'équations (produit nul, quotient nul, équation avec un carré) et deux fractions avec des puissances à simplifier
sur quelques équations à résoudre, systèmes d'équations à deux inconnues, et la construction géométrique graphique de points et vecteurs
sur les vecteurs et coordonnées: calculs de coordonnées, et montrer l'alignement de points. Quelques équations et un système à résoudre
sur la résolution d'équations: produit nul, quotient nul, factorisation, ...
Quelques exercices corrigés
Exercices corrigésFactorisations
Exercices corrigés3 équations du 1er degré
Exercices corrigésFactorisation, développement et résolution d'équations
Exercices corrigésVérification de la solution d'une équation - Calcul sur les radicaux et fractions
Exercices corrigésVérification de la solution d'une équation - Calcul sur les radicaux et fractions
calcul algébrique: calculs avec des puissance, factoriser des expressions algébriques, et résoudre des premières équations
sur la résolution d'équations (produit nul, quotient nul, équation avec un carré) et deux fractions avec des puissances à simplifier
sur quelques équations à résoudre, systèmes d'équations à deux inconnues, et la construction géométrique graphique de points et vecteurs
sur les vecteurs et coordonnées: calculs de coordonnées, et montrer l'alignement de points. Quelques équations et un système à résoudre
sur la résolution d'équations: produit nul, quotient nul, factorisation, ...