Devoir de maths corrigé, équations & vecteurs

seconde

Devoir de mathématiques, et corrigé, sur la résolution d'équations (produit nul, quotient nul, équation avec un carré,…) et les vecteurs (construction géométrique graphique), posé en seconde générale, année scolaire 2024/2025

Exercice 1: Résoudre les équations

Résoudre les équations:
  1. $(E_1):\ (2x-3)(x+6)=(x+6)$
  2. $(E_2):\ x^2(2x+6)=11(2x+6)$
  3. $(E_3):\ \dfrac{4}{2x+5}=\dfrac{1}{x-3}$
  4. $(E_4):\ (3x+1)^2=25$
  5. $(E_5):\ x\sqrt3+5=5x+\sqrt2$

Correction exercice 1


  1. On met les termes du même côté, puis on factorise le terme commun:
    \[\begin{array}{rl}(E_1):\iff &(2x-3)(x+6)-(x+6)=0\\ \iff &(x+6)\Big[(2x-3)-1\Big]=0\\ \iff &(x+6)\left[ 2x-4\rb=0\enar\]

    et on a maintenant une équation produit nul:
    \[(E_1)\iff\la\begin{array}{lll} &x+6=0 \\ \mbox{ou, } &2x-4=0\enar\right. \iff \la\begin{array}{rl} x=-6 \\ \mbox{ou, } x=2\enar\right.\]

    d'où les solutions $\mathcal{S}_1=\left\{ -6\,;\,2\right\}$

  2. On met les termes du même côté, puis on factorise le terme commun:
    \[\begin{array}{rl}(E_2)\iff &x^2(2x+6)-11(2x+6)=0\\[.5em] \iff &\left( x^2-11\rp(2x+6)=0\enar\]

    et on a alors une équation produit nul:
    \[(E_2)\iff \la\begin{array}{rl}x^2-11=0 \\ \mbox{ou, } 2x+6=0\enar\right. \iff \la\begin{array}{ll} x=-\sqrt{11}\ \mbox{ou, } x=\sqrt{11} \\ \mbox{ou, } x=-3\enar\right.\]

    d'où les solutions $\mathcal{S}_2=\left\{ -3\,;\,-\sqrt{11}\,;\,\sqrt{11}\right\}$

  3. On met les termes du même côté, puis on sosutrait les deux fractions en les écrivant sur le même dénominateur:
    \[\dfrac{4}{2x+5}-\dfrac{1}{x-3}=\dfrac{2x-17}{(2x+5)(x-3)}=0\]

    et on a alors une équation quotient nul:
    \[(E_3)\iff \iff \la\begin{array}{rl}2x-17=0 \\ \mbox{et, }(2x+5)(x-3)\not=0\enar\right. \iff \la\begin{array}{ll} &x=\dfrac{17}{2} \\ \mbox{et, }&x\not=-\dfrac{5}{2}\ \mbox{et, } x\not=3\enar\right. \]


    d'où la solution $\mathcal{S}_3=\left\{ \dfrac{17}{2}\right\}$
  4. $(E_4):\ (3x+1)^2=25 \iff \la\begin{array}{rl}3x+1=-5 \\ \mbox{ou, }3x+1=5\enar\right. \iff \la\begin{array}{rl}x=-2 \\ \mbox{ou, }x=\dfrac43\enar\right.$ d'où $\mathcal{S}_4=\left\{ -2\,;\,\dfrac43 \right\}$

  5. $(E_5):\ x\sqrt3+5=5x+\sqrt2\iff x\sqrt3-5x=\sqrt2-5\iff x(\sqrt4-5)=\sqrt2-5$
    d'où la solution $\mathcal{S}_5=\left\{ \dfrac{\sqrt2-5}{\sqrt3-5}\right\}$.


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Exercice 2: Résoudre les deux systèmes d'équations

Résoudre les systèmes:
$\mathcal{S}_1:\la\begin{array}{rcrcc} 2x &+&3y&=&11\\[.5em] 2x&-&y&=&-1\end{array} \right.$ $\mathcal{S}_2:\la\begin{array}{rcrcc} 2x &+&3y&=&9\\[.5em] x&-&2y&=&-13\end{array} \right.$

Correction exercice 2



\[\mathcal{S}_1:\la\begin{array}{rcrcc} 2x &+&3y&=&11\\[.5em] 2x&-&y&=&-1\end{array} \right. \]

En soustrayant les deux équations, on trouve $4y=12$ d'où $y=3$.
On peut ensuite substituer cette valeur dans la première équation (par exemple),
\[2x+3y=11\iff 2x+3\tm3=11 \iff x=1\]

La solution de ce système est donc $x=1$ et $y=3$.

On peut multiplier la deuxième équation par 2, et alors
\[\mathcal{S}_2\iff\la\begin{array}{rcrcc} 2x &+&3y&=&9\\[.5em] 2x&-&4y&=&-26\end{array} \right.\]

puis en soustrayant la deuxième équation à la première, on obtient
\[7y=35 \iff y=6\]

On peut ensuite substituer cette valeur dans la première équation (par exemple),
\[2x+3y=9 \iff 2x+3\tm5=9 \iff x=-3\]



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Exercice 3: Construire les points et les vecteurs, graphiquement


Construire les points $D$ et $E$ tels que: $\displaystyle \bullet\ \ \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarro... ...et\ \ \overrightarrow{AE}=2\overrightarrow{BC}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}$

\begin{pspicture}(0.5,0)(5,4) \rput(2,3){\large$\times $}\rput(1.7,3.2){$A$} \... ...ut(0.7,0.8){$B$} \rput(4,1){\large$\times $}\rput(4.3,1.2){$C$} \end{pspicture}



Construire les points $F$ et $G$ tels que: $\displaystyle \bullet\ \ \overrightarrow{CF}=-\overrightarrow{AD}+\overrightarr... ...rightarrow{DG}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BA}-\dfrac{3}{2}\overrightarrow{BD}$

\begin{pspicture}(0,0)(5,5)\rput(3,4){\large$\times $}\rput(2.7,4.2){$A$} \rp... ...3,2.5){$D$} \rput(2,-1){\large$\times $}\rput(1.6,-0.9){$C$} % \end{pspicture}



Correction exercice 3


Construire les points $D$ et $E$ tels que $\displaystyle \bullet\ \ \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarro... ...et\ \ \overrightarrow{AE}=2\overrightarrow{BC}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}$

\begin{pspicture}(0.5,0)(5,4) \rput(2,3){\large$\times $}\rput(1.7,3.2){$A$} \... ...t(9.2,2.8){$\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}$} \rput(9,1.7){$E$} \end{pspicture}



Construire les points $F$ et $G$ tels que:
$\displaystyle \bullet\ \ \overrightarrow{CF}=-\overrightarrow{AD}+\overrightarr... ...rightarrow{DG}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BA}-\dfrac{3}{2}\overrightarrow{BD}$
\begin{pspicture}(0,0)(5,5) \rput(3,4){\large$\times $}\rput(2.7,4.2){$A$} \rp... ...(2,3.5){-$\dfrac{3}{2}\overrightarrow{BD}$} \rput(0.5,3.1){$G$} \end{pspicture}




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Voir aussi:
ccc