Devoir de maths corrigé, Vecteurs et coordonnées et équations

seconde

Devoir de mathématiques, et corrigé, sur la résolution d'équations (produit nul, quotient nul, équation avec un carré,…) et les vecteurs (construction géométrique graphique), posé en seconde générale, année scolaire 2024/2025

Exercice 1: Résoudre les trois équations

Résoudre les équations:

$(E_1):\ 4x^2+2x+1=2x^2+x+1$
$(E_2):\ \dfrac{2}{x+5}=\dfrac{3}{x-3}$
$(E_3):\ (3x-1)^2=36$

Correction exercice 1

On met les termes du même côté, puis on factorise le terme commun:

$(E_1) \iff 2x^2+x=0 \iff x(2x+1)=0$

et on a maintenant une équation produit nul:

$(E_1)\iff\la\begin{array}{lll} &x=0 \\ \mbox{ou, } &2x+1=0\enar\right. \iff \la\begin{array}{rl} x=0 \\ \mbox{ou, } x=-\dfrac12\enar\right.$

d'où les solutions $\mathcal{S}_1=\left\{ 0\,;\,-\dfrac12\right\}$
On met les termes du même côté, puis on soustrait les deux fractions en les écrivant sur le même dénominateur:

$\dfrac{2}{x+5}-\dfrac{3}{x-3}=\dfrac{-x-21}{(x+5)(x-3)}=0$

et on a alors une équation quotient nul:

$(E_2)\iff \iff \la\begin{array}{rl}-x-21=0 \\ \mbox{et, }(x+5)(x-3)\not=0\enar\right. \iff \la\begin{array}{ll} &x=-21 \\ \mbox{et, }&x\not=-5\ \mbox{et, } x\not=3\enar\right.$

d'où la solution $\mathcal{S}_2=\Bigl\{ -21\Bigr\}$
$(E_3):\ (3x-1)^2=36 \iff \la\begin{array}{rl}3x-1=-\sqrt{36}=-6 \\[.8em] \mbox{ou, }3x-1=\sqrt{36}=6\enar\right. \iff \la\begin{array}{rl}x=-\dfrac53 \\[1em] \mbox{ou, }x=\dfrac73\enar\right.$ d'où $\mathcal{S}_3=\left\{ -\dfrac53\,;\,\dfrac73 \right\}$

Cacher la correction

Exercice 2: Résoudre le système d'équations

Résoudre le système: $\la\begin{array}{ccr} 2x-y&=&7\\ -x+2y&=&-8 \enar\right.$

Correction exercice 2

On a $ab'-a'b=2\tm2-(-1)\tm(-1)=3\not=0$ et donc ce système admet une unique solution.
$\la\begin{array}{ccr} 2x-y&=&7\\ -x+2y&=&-8 \enar\right. \iff \la\begin{array}{ccr} y&=&2x-7\\ y&=&\dfrac12x-4 \enar\right.$ On a ainsi $y=2x-7=\dfrac12x-4$ , soit $\dfrac32x=3\iff x=2$ , puis $y=2x-7=2\tm2-7=-3$ . On trouve ainsi

Cacher la correction

Exercice 3: Alignement de trois points

Soit trois points

.
Ces trois points sont-ils alignés ?

Correction exercice 3

On a $\overrightarrow{AB}(12;5)$ et $\overrightarrow{AC}(24;10)$ , et $12\times 10-5\times 24=0$ . On en déduit que les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires, et donc que les points

sont alignés.

Cacher la correction

Exercice 4: Cacluls avec des vecteurs et coordonnées, recherche de points

Dans un repère orthonormal, on considère les points

Calculer et les coordonnées de $\overrightarrow{EF}$ .
Déterminer les coordonnées du milieu de .
Déterminer les cooronnées du point tel que $\overrightarrow{EG}+2\overrightarrow{FG}=\vec{0}$
Déterminer l'ordonnée du point de la droite dont l'abscisse est 2.

Correction exercice 4

Dans un repère orthonormal, on considère les points

$\overrightarrow{EF}(5-(-2);-1-4)$ soit $\overrightarrow{EF}(7;-5)$ et alors $EF=\sqrt{7^2+(-5)^2}=\sqrt{49+25}=\sqrt{74}$
Le milieu de a poiur coordonnées $I\lp\dfrac{-2+5}2;\dfrac{4+(-1)}2\rp$ soit $I\lp\dfrac32;\dfrac32\rp$
Soit alors $\overrightarrow{EG}(x+2;y-4)$ et $\overrightarrow{FG}(x-5;y+1)$ et donc $\overrightarrow{EG}+2\overrightarrow{FG}=\vec{0}$ est équivalent à

$\la\begin{array}{lcl} x+2+2(x-5)&=&0\\[.7em] y-4+2(y+1)&=&0\enar\right. \iff \la\begin{array}{lcl} x&=&\dfrac83\\[1em]y&=&\dfrac23\enar\right.$

et on a ainsi trouvé le point $G\lp\dfrac83;\dfrac23\rp$ .
Soit l'ordonnée du point qui a donc pour coordonnées .
$\overrightarrow{EM}$ a pour coordonnées $\Big( 2-(-2);y-4\Big) = (4;y-4)$ .
$\overrightarrow{EF}$ a pour coordonnées $\Big( 5-(-2);-1-4\Big) = (7;-5)$ .
Le point appartient à la droite si et seulement si les points , et sont alignés, soit si et seulement si

$4\tm(-5)-7\tm(y-4)=0 \iff -20-7y+28=0 \iff y=\dfrac{8}{7}$

L'ordonnée du point est donc $\dfrac{8}{7}$ .