théorème de la médiane

Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale

ROC

Prérequis:

a) Pour tous vecteurs $ \vec{u}$ et $ \vec{v}$ :     $ \left(\vec{u}-\vec{v}\right)^2=\vec{u}^2+\vec{v}^2-2\vec{u}\cdot\vec{v}$ .


b) Pour tout vecteurs $ \overrightarrow{AB}$ :      $ \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AB}^2=AB^2$ .


  1. Démonstration: Avec les notations de la figure ci-contre,

    démontrer que $ MA^2+MB^2=2MO^2+\dfrac{AB^2}{2}$ .

    \begin{pspicture}(-2,0.2)(5,1) \pspolygon(0,0)(3,0)(1.2,2) \psline(1.5,0)(1.2,... ...,-0.1)(2.3,0.1)\psline(2.3,-0.1)(2.4,0.1) \rput(1.5,-0.2){$O$} \end{pspicture}
  2. Application:

    Démontrer que si $ ABCD$ est un parallélogramme, alors:

    $\displaystyle AB^2+BC^2+CD^2+DA^2=AC^2+BD^2 $


Correction
  1. Démonstration: Voir cours.
  2. Afin d'utiliser le théorème de la médiane, on introduit le point $ O$ milieu des diagonales du parallélogramme.

    \begin{pspicture}(-0.5,-0.3)(4,2) \pspolygon(0,0)(3,0)(4,2)(1,2) \psline(0,0)(... ... \rput(4.2,2.2){$C$} \rput(0.8,2.2){$D$} \rput(2.1,1.3){$O$} \end{pspicture}


    On a alors, d'après le théorème de la médiane démontré à la question précédente:

    $\displaystyle AB^2+AD^2=2AO^2+\dfrac{BD^2}{2} $

    et

    $\displaystyle CD^2+CB^2=2CO^2+\dfrac{BD^2}{2} $

    En ajoutant ces deux égalités, on obtient:

    $\displaystyle AB^2+AD^2+CD^2+CB^2 =2AO^2+2CO^2+BD^2 $

    Or, $ AO=\dfrac{AC}{2}$ , donc $ 2AO^2=\dfrac{AC^2}{2}$ , er de même, $ 2CO^2=\dfrac{AC^2}{2}$ .

    On a donc bien:

    $\displaystyle AB^2+AD^2+CD^2+CB^2 =\dfrac{AC^2}{2}+\dfrac{AC^2}{2}+BD^2 =AC^2+BD^2 $



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