Calcul de distance dans un rectangle

Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale

Énoncé

Calcul d'une distance

est un rectangle de dimensions et ( ).

et sont les projetés orthogonaux des points et sur la droite .

Calculer le produit scalaire $\left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}\right)\cdot\left(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}\right)$ .
Justifier que $\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{DB}=A'C'\times DB$ .
Déduire des questions précédentes que: $A'C'=\dfrac{L^2-l^2}{\sqrt{L^2+l^2}}$ .

$\begin{pspicture}(-0.5,0.2)(4,3.4) \pspolygon(0,0)(5,0)(5,3)(0,3) \psline(0,3)... ...t(-0.2,3.2){$D$} \rput(1.5,2.45){$A'$} \rput(3.5,0.5){$C'$} % \end{pspicture}$

Correction

$\left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}\right)\cdot\left(\overrightarrow... ...arrow{AB}\cdot\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{DC}$ avec,

$\bullet$

$\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{DA}=-AD\times DA=-l^2$ , car les vecteurs sont colinéaires de sens opposés;

$\bullet$

$\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{DA}=0$ car, étant un rectangle, les vecteurs sont orthogonaux;

$\bullet$

$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{DC}=-AB\times DC=L^2$ car les vecteurs sont colinéaires de même sens.

d'où, $\left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}\right)\cdot\left(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}\right)=-l^2+L^2$ .
Les projetés orthogonaux de et sur la droite sont respectivement et , et donc, $\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{DB}=A'C'\times DB$ .
On a $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{DB}$ , d'où, $\left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}\right)\cdot\left(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}\right) =\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{DB}$ .
On en déduit, d'après les questions précédentes, que:

$\displaystyle \left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}\right)\cdot\left(\o... ...ght) =\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{DB} =-l^2+L^2 =A'C'\times DB$

Ainsi, $A'C'=\dfrac{L^2-l^2}{DB}$
Or, d'après le théorème de Pythagore, $DB=\sqrt{L^2+l^2}$ , d'où, au final, $A'C'=\dfrac{L^2-l^2}{\sqrt{L^2+l^2}}$ .

Tag:Produit scalaire

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