Suite récurrente et suite intermédiaire géométrique

Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=0$ et, pour tout entier $n$, par $u_{n+1}=2+3u_n$.
  1. Calculer $u_1$ et $u_2$.
    La suite $(u_n)$ est-elle arithmétique ? géométrique ?
  2. On pose $v_n=u_n+1$.
    Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme $v_0$.
    En déduire l'expression de $v_n$ en fonction de $n$.
  3. Donner l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.

Correction
On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=0$ et, pour tout entier $n$, par $u_{n+1}=2+3u_n$.
  1. $u_1=2+3u_0=2$ et $u_2=2+3u_1=8$
    Cette suite ne peut pas être arithmétique car $u_1-u_0=2$ est différent de $u_2-u_1=6$.
    Elle ne peut pas être géométrique non plus car on aurait alors $u_1=qu_0=0$ ce qui n'est pas le cas.
  2. Pour tout entier $n$, on a $v_{n+1}=u_{n+1}+1=2+3u_n+1=3(1+u_n)=3v_n$.
    Ainsi $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $q=3$ et de premier terme $v_0=u_0+1=1$.
    On en déduit que, pour tout entier $n$, $v_n=v_0q^n=3^n$.
  3. Comme $v_n=u_n+1$, on a alors $u_n=v_n-1=3^n-1$.


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