Deux suites arithmético-géométrique, somme de suite

Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale

Énoncé

On considère les suites $(a_n)$ et $(b_n)$ définies pour tout entier naturel $n$ par
\[a_n=\dfrac14\left( 2^n+4n-5\right) \quad\text{ et }\quad b_n=\dfrac14\lp2^n-4n+5\rp\]


  1. Calculer les premiers termes: $u_0$, $u_1$, et $v_0$, $v_1$.
  2. On définit les suites $a_n$ et $b_n$ pour tout entier naturel $n$ par $u_n=a_n+b_n$ et $v_n=a_n-b_n$.
    1. Montrer que la suite $(u_n)$ est géométrique de raison 2.
    2. Montrer que la suite $(v_n)$ est arithmétique de raison 2.
    3. Donner les expressions de $u_n$ et $v_n$ en fonction de $n$, pour tout entier naturel $n$, puis des sommes $S_u(n)=u_0+u_1+u_2+\dots+u_n$ et $S_v(n)=v_0+v_1+u_2+\dots+v_n$.
    4. Déduire de ce qui précède la somme $S_n=a_0+a_1+a_2+\dots+a_n$.



Correction

Correction

  1. $a_0=\dfrac14\lp2^0+4\tm0-5\rp=-1$, $a_1=\dfrac14\lp2^1+4\tm1-5\rp=\dfrac14$
    $b_0=\dfrac14\lp2^0-4\tm0+5\rp=\dfrac64=\dfrac32$, $b_1=\dfrac14\lp2^1-4\tm1+5\rp=\dfrac34$.
    1. $u_n=a_n+b_n =\dfrac14\left( 2^n+4n-5\rp+\dfrac14\left(2^n-4n+5\rp =\dfrac14\tm2^n\tm=2^{n-1}$,
      ce qui montre que $(u_n)$ est géométrique de raison 2.
    2. $v_n=a_n-b_n =\dfrac14\left( 2^n+4n-5\rp-\dfrac14\left(2^n-4n+5\rp =\dfrac14\left( 8n-10\rp=2n-\dfrac52$,
      ce qui montre que $(u_n)$ est arithmétique de raison 2.
    3. On en déduit que $S_u(n)=u_0\dfrac{2^n-1}{2-1}=\dfrac12(2^n-1)$
      et $S_v(n)=(n+1)\dfrac{v_0+v_n}{2} =\dfrac{(n+1)\lp-\dfrac52+2n-\dfrac52\right)}{2} =\dfrac{(n+1)(2n-5)}{2}$
    4. On a $u_n+v_n=\left( a_n+b_n\rp+\left( a_n-b_n\rp=2a_n$ et donc $a_n=\dfrac12\left( u_n+v_n\rp$.
      Ainsi,
      \[\begin{array}{ll} S(n)&=a_0+a_1+\dots+a_n\\[.2em] &=\dfrac12(u_0+v_0)+\dfrac12(u_1+v_1)+\dots+\dfrac(u_n+v_n)\\[.5em] &=\dfrac12\left( u_0+u_1+\dots+u_n\right) +\dfrac12\left( v_0+v_1+\dots+v_n\rp\\[.5em] &=S_u(n)+S_v(n)\enar\]



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