Deux suites arithmético-géométrique, somme de suite

Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale

On considère les suites $(a_n)$ et $(b_n)$ définies pour tout entier naturel $n$ par
\[a_n=\dfrac14\left( 2^n+4n-5\right) \quad\text{ et }\quad b_n=\dfrac14\lp2^n-4n+5\rp\]


  1. Calculer les premiers termes: $u_0$, $u_1$, et $v_0$, $v_1$.
  2. On définit les suites $a_n$ et $b_n$ pour tout entier naturel $n$ par $u_n=a_n+b_n$ et $v_n=a_n-b_n$.
    1. Montrer que la suite $(u_n)$ est géométrique de raison 2.
    2. Montrer que la suite $(v_n)$ est arithmétique de raison 2.
    3. Donner les expressions de $u_n$ et $v_n$ en fonction de $n$, pour tout entier naturel $n$, puis des sommes $S_u(n)=u_0+u_1+u_2+\dots+u_n$ et $S_v(n)=v_0+v_1+u_2+\dots+v_n$.
    4. Déduire de ce qui précède la somme $S_n=a_0+a_1+a_2+\dots+a_n$.

Correction


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