Second degré et polynômes
Résolution d'équation, inéquations et problèmes du second degré
![$\displaystyle \begin{pspicture}(-4,0)(4,4)\psset{unit=1cm,arrowsize=8pt}\ps... ...t(2.3,-0.3){\large$x_2$}%\rput(0.35,3.7){\Large$ax^2+bx+c$}\end{pspicture}$](/Lycee/Common/Cours-2nd-degre/Cours-2nd-degre/img1.png)
Trinôme du second degré
Equations du second degré
Définition
On appelle trinôme du second degré toute expression de la forme
ax2 + bx + c ,
où
a,
b et
c,
sont trois nombres réels quelconques, et
a ≠ 0.
Exemple: de trinômes du second degré:
Trinômes | a | b | c |
P(x) = 3x2 + 2x −5 | 3 | 2 | −5 |
Q(x) = 2x2 − 3x + 23 | 2 | −3 | 23 |
R(x) = −x2 + 52x | −1 | 52 | 0 |
S(x) = x2 + (1−2)x − π | 1 | 1−2 | − π |
T(x) = 65x2 − 3 | 65 | 0 | −3 |
U(x) = (x − 2)2 + 3(x + 3) | 1 | −1 | 13 |
Définition
On appelle discriminant du trinôme du second degré
ax2 + bx + c ,
le nombre, noté Δ, et défini par:
Δ = b2 − 4ac
Exemples: de discriminant de trinômes du second degré:
Trinômes | a | b | c | Δ |
P(x) = 3x2 + 2x −5 | 3 | 2 | −5 | 64 |
Q(x) = x2 + 2x + 1 | 1 | 2 | 1 | 0 |
R(x) = x2 − 2x − 5 | 1 | 2 | −5 | 22 |
Propriété
On considère l'équation (E): ax2 + bx + c = 0
avec a ≠ 0 et
de discriminant Δ = b2 − 4ac.
- Si Δ > 0, l'équation (E)
admet deux solutions distinctes
(aussi appelées racines):
x1 = −b − Δ 2a x2 = −b + Δ 2a - Si Δ = 0, l'équation (E)
admet une unique solution
(ou racine) double:
x0 = −b 2a
- Si Δ < 0, l'équation (E) n'admet aucune solution réelle.
Exercice 1
Déterminer les solutions des équations:
- a) x2 − 2x + 1 = 0
- b) x2 − 1 = 0
- c) 4x2 + 8x − 5 = 0
- d) 3x2 + x + 6 = 0
Signe d'un trinôme du second degré
Propriété
Soit
f (x) = ax2 + bx + c
avec a ≠ 0,
alors,
- Si Δ > 0, et x1 et x2
sont les deux racines alors
x −∞ x1 x2 +∞ f Signe de a 0 Signe de −a 0 Signe de a
- Si Δ = 0 et x0
est la racine double alors,
x −∞ x1 +∞ f Signe de a 0 Signe de a
- Si Δ < 0, le trinôme n'a pas de racine et il est donc toujours du même signe,
x −∞ +∞ f Signe de a
Exercice 2
Étudier le signe de:
- a) P(x) = x2 − 2x + 1
- b) Q(x) = x2 − 1
- c) R(x) = −3x2 + 5x − 2
- d) S(x) = 2x2 + x + 3
Exercices
Exercice 3
Résoudre les inéquations:
- a) x2 − 2x + 1 > 0
- b) −3x2 + 5x − 2 ≤ 0
- c) x(2x − 5) ≥ x − 6
Exercice 4
Etudier le signe de:
- a) f (x) = −x2 + x −3
- b) g(x) = x − 1x
- c) h(x) = 2x + 4x − 3
![](/include/IcQCM.png)
![Lien vers les exercices corrigés](/include/fleche_Droite.png)
Exercice 5
(Équations bicarrées)
En effectuant le changement de variable X = x2 résoudre les équations:
En effectuant le changement de variable X = x2 résoudre les équations:
- a) x4 − 13x2 + 36 = 0
- b) x2 + 1x2 − 6 = 0
Exercice 6
Déterminer les points d'intersection (s'ils existent) de la
parabole P et de la droite
D
d'équations:
P: y = x2 − 3x + 1 et
D: y = −2x + 1
Exercice 7
Déterminer les points d'intersection des paraboles
P et P'
d'équations
P: y = x2 − x + 2
et
P': y = −x2 + 2x − 6
Exercice 8
Soit m un nombre réel.
On considère l'équation
4x2 + (m − 1)x + 1 = 0
Déterminer m pour que cette équation admette une unique solution.
Déterminer alors cette solution.
Polynômes
Voir aussi: