Problème complet: protocole médical, fonction exponentielle et suite récurrente (Bac 2022)

Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale

Dans le cadre d'un essai clinique on envisage deux protocoles de traiterment de d'une maladie.
L'objectif de cet exercice est d'étudier, pour ces deux protocoles, l'évolution de la quantité de médicament présente dans le sang d'un patient en fonction du temps.

Les parties A et B sont indépendantes

Partie A : Étude du premier protocole

Le premier protocole consiste à faire absorber un médicament, sous forme de comprimé, au patient.
On modélise la quantité de médicament présente dans le sang du patient, exprimée en mg, par la fonction

définie sur l'intervalle [0 ; 10] par

$f(t) = 3t e^{-0,5t+1},$

où

désigne le temps, exprimé en heure, écoulé depuis la prise du comprimé.

Dresser le tableau de variation de sur l'intervalle [0 ; 10].

Selon cette modélisation, au bout de combien de temps la quantité de médicament présente dans le sang du patient sera-t-elle maximale ? Quelle est alors cette quantité maximale?
1. Montrer que l'équation admet une unique solution sur l'intervalle [0 ; 2] notée $\alpha$ , dont on donnera une valeur approchée à $10^{-2}$ près. On admet que l'équation admet une unique solution sur l'intervalle [2 ; 10], notée $\beta$ , et qu'une valeur approchée de $\beta$ à $10^{-2}$ près est 3,46.
2. On considère que ce traitement est efficace lorsque la quantité de médicament présente dans le sang du patient est supérieure ou égale à 5 mg. Déterminer, à la minute près, la durée d'efficacité du médicament dans le cas de ce protocole.

Partie B : Étude du deuxième protocole

Le deuxième protocole consiste à injecter initialement au patient, par piqüre intraveineuse, une dose de

mg de médicament puis à réinjecter toutes les heures une dose de

mg.
On suppose que le médicament se diffuse instantanément dans le sang et qu'il est ensuite progressivement éliminé.
On estime que lorsqu'une heure s'est écoulée après une injection, la quantité de médicament dans le sang a diminué de 30 % par rapport à la quantité présente immédiatement après cette injection.
On modélise cette situation à l'aide de la suite $\left(u_n\right)$ où, pour tout entier naturel

désigne la quantité de médicament, exprimée en mg, présente dans le sang du patient immédiatement après l'injection de la

-ième heure. On a donc

Calculer, selon cette modélisation, la quantité , de médicament (en mg) présente dans le sang du patient immédiatement après l'injection de la première heure.
Justifier que, pour tout entier naturel , on a : $u_{n+1} = 0,7u_n + 1,8$ .
On considère la suite définie, pour tout entier naturel , par .
1. Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison dont on précisera le premier terme.
2. Déterminer l'expression de en fonction de , puis de en fonction de .
3. Avec ce protocole, on arrête les injections lorsque la quantité de médicament présente dans le sang du patient est supérieure ou égale à 5,5 mg. Déterminer, en détaillant les calculs, le nombre d'injections réalisées en appliquant ce protocole.

Correction

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