Sens de variation d'une suite définie par une fonction

Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale

Énoncé

Étudier le sens de variation de la suite $(u_n)$ définie par $u_n=\dfrac{3n-1}{2-5n}$ pour tout entier naturel $n$.


Correction

Correction

La suite $(u_n)$ est définie explicitement par $u_n=f(n)$ avec la fonction $f:x\mapsto\dfrac{3x-1}{2-5x}$ définie sur $\R\setminus\la\dfrac25\ra$.
On a $f=\dfrac{u}{v}$ avec $u(x)=3x-1$ donc $u'(x)=3$ et $v(x)=2-5x$ donc $v'(x)=-5$.
On a alors $f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$, soit $f'(x)=\dfrac{3(2-5x)-(3x-1)(-5)}{(2-5x)^2} =\dfrac{1}{(2-5x)^2}$.
Comme pour tout $x\not=\dfrac25$, on a $(2-5x)^2>0$, on a aussi $f'(x)>0$, et donc $f$ est strictement croissante sur $\Bigl]-\infty;\dfrac25\Bigr[$ et sur $\Bigl]\dfrac25;+\infty[$.
La suite $(u_n)$ est donc strictement croissante pour $n\geqslant 1$.

Remarque: on ne sait pas si $(u_n)$ est croissante sur $\N$ tout entier. D'ailleurs ici, calculs faits, on s'aperçoit du contraire: $u_0=-\frac12>u_1=-\frac23$


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