Suite définie par récurrence et suite intermédiaire géométrique (bis)

Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale

Énoncé

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et, pour tout entier naturel $n$, $\displaystyle u_{n+1}=\frac{1}{3}u_n+4$
On pose, pour tout entier naturel $n$, $v_n=u_n-6$.
  1. Pour tout nombre entier naturel $n$, calculer $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$.
    Quelle est la nature de la suite $(v_n)$ ?
  2. En déduire l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.
  3. Etudier la convergence de la suite $(u_n)$.



Correction

Correction

  1. Pour tout nombre entier naturel $n$, $\displaystyle v_{n+1}=u_{n+1}-6=\frac{1}{3}u_{n+1}-2 =\frac{1}{3}\left( u_{n+1}-6\rp=\frac{1}{3}v_n$.

    On en déduit que $(v_n)$ est géométrique de raison $\displaystyle q=\frac{1}{3}$ et de premier terme $v_0=u_0-6=-5$.
  2. D'après la question précédente, pour tout entier $n$, $\displaystyle v_n=v_0q^n=-5\lp\frac{1}{3}\rp^n$, et donc que, pour tout entier n ,  $\displaystyle u_n=v_n+6=-5\lp\frac{1}{3}\rp^n+6$.
  3. Comme $\displaystyle 0<\frac{1}{3}<1$, $\dsp\lim_{n\to+\infty} \lp\frac{1}{3}\rp^n=0$, et donc, $\dsp\lim_{n\to+\infty} (u_n)=6$.


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