Milieux, droites parallèles et calcul d'angle

Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale

Énoncé

Dans un repère orthonormal, on considère les points $A(-1;3)$, $B(1;7)$ et $C(5;-3)$. Les points $M$, $N$, et $P$ sont les milieux respectifs de $[AB]$, $[AC]$ et $[BC]$.
  1. Les droites $(MN)$ et $(MP)$ sont-elles parallèles ?

  2. Déterminer, au degré près, la mesure de l'angle $\widehat{PMN}$.



Correction

Correction


  1. On calcule les coordonnées des milieux:
    • $M\lp\dfrac{-1+1}2;\dfrac{3+7}2\rp$, soit $M(0;5)$
    • $N\lp\dfrac{-1+5}2;\dfrac{3+(-3)}2\rp$, soit $N(2;0)$
    • $P\lp\dfrac{1+5}2;\dfrac{7+(-3)}2\rp$, soit $P(3;2)$

    On calcule ensuite les coordonnées des vecteurs: $\overrightarrow{MN}\lp\begin{array}{c}2\\-5\enar\rp$ et $\overrightarrow{MP}\lp\begin{array}{c}3\\-3\enar\rp$.
    Enfin, leur déterminant vaut
    \[\overrightarrow{MN}\cdot\overrightarrow{MP}=2\tm(-3)-(-5)\tm3=9\not=0\]

    ce qui montre que ces vecteurs ne sont pas colinéaires, et donc les droites ne sont pas parallèles.
  2. On utilise le produit scalaire:
    \[\overrightarrow{MP}\cdot\overrightarrow{MN}=MP\times MN\times\cos\lp\overrightarrow{MP},\overrightarrow{MN}\rp\]

    avec $MP=\sqrt{3^2+(-3)^2}=\sqrt{18}=3\sqrt2$ et $MN=\sqrt{2^2+(-5)^2}=\sqrt{29}$, et donc
    \[\overrightarrow{MP}\cdot\overrightarrow{MN}=3\sqrt2\tm\sqrt29\tm\cos\lp\overrightarrow{MP},\overrightarrow{MN}\rp\]

    Par ailleurs, on avait calculé à la question précédente,
    \[\overrightarrow{MP}\cdot\overrightarrow{MN}=9\]

    et on en déduit donc que
    \[\overrightarrow{MP}\cdot\overrightarrow{MN}=9=3\sqrt2\tm\sqrt29\tm\cos\lp\overrightarrow{MP},\overrightarrow{MN}\rp\]

    et donc que
    \[\cos\lp\overrightarrow{MP},\overrightarrow{MN}\rp=\cos\lp\widehat{PMN}\rp=\dfrac9{3\sqrt2\tm\sqrt29}\]

    d'où, à l'aide de la calculatrice, on touve la valeur approchée de l'angle
    \[\widehat{PMN}\simeq67^\circ\]



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