Equation de la médiatrice, intersection de droites et équation de cercle

Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale

Énoncé

Dans le plan est rapporté à un repère orthonormal $ (O;\vec{i},\vec{j})$ , on considère les points $ A(2;-1)$ et $ B(1;3)$ , et la droite $ D$ d'équation $ x+y+1=0$ .

  1. Déterminer l'équation de la médiatrice $ T$ de $ [AB]$ .
  2. Représenter sur une figure les droites $ D$ et $ T$ .
  3. Calculer les coordonnées du point $ I$ , intersection des droites $ D$ et $ T$ .
  4. Déterminer le rayon du cercle $ C$ passant par $ A$ et $ B$ et dont le centre est sur la droite $ D$ .
  5. Déterminer l'équation du cercle $ C$ .



Correction

Correction

  1. Soit $ C$ le milieu de $ [AB]$ , alors $ C$ a pour coordonnées $ C\left(\dfrac{2+1}{2};\dfrac{-1+3}{2}\right)$ , soit $ C\left(\dfrac{3}{2};1\right)$ .

    De plus, $ M(x;y)\in T\iff \overrightarrow{CM}\perp\overrightarrow{AB} \iff \overrightarrow{CM}\cdot\overrightarrow{AB}=0$ .

    On a les coordonnées des vecteurs: $ \overrightarrow{CM}\left(x-\dfrac{3}{2};y-1\right)$ et $ \overrightarrow{AB}(-1;4)$ , d'où,

    $\displaystyle \overrightarrow{CM}\cdot\overrightarrow{AB}=0 \iff \left(x-\df... ...2}\right)\times (-1)+\left(y-1\right)\times (4)=0 \iff -x+4y-\dfrac{5}{2}=0 $

    La médiatrice $ T$ a donc pour équation: $ -x+4y-\dfrac{5}{2}=0$ .


  2. \begin{pspicture}(-4,-4)(4,3.5) \psline[arrowsize=5pt]{->}(-3.5,0)(3.5,0) \psl... ... \rput(1,3){$\times $}\rput(1.2,3.2){$B$} \rput(-1.2,0.6){$I$} \end{pspicture}

  3. Soit $ I(x;y)$ , alors,

    $\displaystyle I\in D\cup T \iff \left\{\begin{array}{ll} x+y+1=0 \\ -x+4y-... ...\begin{array}{ll} x=-\dfrac{13}{10} \\ y=\dfrac{3}{10} \end{array}\right. $

    Ainsi, les coordonnées de $ I$ sont $ I\left(-\dfrac{13}{10};\dfrac{3}{10}\right)$ .

  4. Le centre du cercle passant par $ A$ et $ B$ est sur la médiatrice $ T$ de $ [AB]$ . Comme ce centre doit aussi être sur la droite $ D$ , on en déduit qu'il s'agit du point $ I$ .

    Le rayon du cercle est alors

    $\displaystyle R=IA=IB=\sqrt{\left(2+\dfrac{13}{10}\right)^2+\left(-1-\dfrac{3}{... ...{\dfrac{33^2}{100}+ \dfrac{13^2}{100}} =\dfrac{\sqrt{1258}}{10} \simeq 3,55 $

  5. Le cercle $ C$ a pour équation: $ \left(x+\dfrac{13}{10}\right)^2+\left(y-\dfrac{3}{10}\right)^2=R^2$


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