Valeur approchée d'un angle avec le produit scalaire

Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale

Énoncé

Dans le plan muni d'un repère orthonormé, soit les points $A(3;-2)$, $B(5;2)$ et $C(-1;1)$.
Donner une valeur de l'angle $\widehat{BAC}$ au dixième de degré près.


Correction

Correction

Soit les points $A(3;-2)$, $B(5;2)$ et $C(-1;1)$, on a donc $\overrightarrow{AB}\lp\begin{array}{c}2\\4\enar\rp$ et $\overrightarrow{AC}\lp\begin{array}{c}-4\\3\enar\rp$
d'où $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=2\tm(-4)+4\tm3=4$
On a aussi $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=AB\times AC\times\cos\lp\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\rp$,
avec $AB=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{20}=2\sqrt5$ et $AC=\sqrt{(-4)^2+3^2}=5$, d'où $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=2\sqrt5\tm5\tm\cos\lp\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\rp$.

On a alors, en utilisant la question précédente,
\[\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=4=2\sqrt5\tm5\tm\cos\lp\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\rp\]

soit aussi
\[\cos\lp\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\rp=\dfrac4{2\sqrt5\tm5}=\dfrac2{5\sqrt5}\]

Avec l'aide de la caclulatrice, on trouve alors la valeur approché de l'angle $\widehat{BAC}\simeq79,7^\circ$


Tag:Produit scalaire

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