Normale à une parabole
Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale
Énoncé
On considère dans un repère orthonormal
la courbe 
, représentative de la fonction
définie sur 
par 
.
On appelle droite normale à une courbe en un point, la droite perpendiculaire à la tangente à la courbe en ce point.
Déterminer l'équation de la droite normale à
au point 
de 
d'abscisse 1.
Représenter graphiquement la coube
, sa tangente et sa normale.
, représentative de la fonction
définie sur par .
On appelle droite normale à une courbe en un point, la droite perpendiculaire à la tangente à la courbe en ce point.
Déterminer l'équation de la droite normale à
au point de d'abscisse 1.
Représenter graphiquement la coube
, sa tangente et sa normale.
Correction
à 
au point d'abscisse 1 est
,
avec 
, donc 
, et 
,
d'où 
.
Un vecteur directeur de
est 
,
et 
appartient à la droite normale à 
en 
si et seulement si
, avec 
et donc
, d'où
.
L'équation réduite de la tangente est
: c'est une droite qui passe par 
et d'ordonnée à l'origine 
.
L'équation réduite de cette normale est
: c'est une droite qui passe par 
et d'ordonnée à l'origine 
.
![\[\psset{arrowsize=8pt}\begin{pspicture*}(-2.5,-2.5)(4,4)
\psline{->}(-2.3,0)(4,0)
\psline{->}(0,-2.3)(0,4)
\psplot{-2}{4}{x 2 exp}
\rput(-1.5,3.2){$\mathcal{C}$}
\psplot[linecolor=blue]{-5}{5}{2 x mul 1 sub}\rput(2.3,3){\blue$T$}
\psplot[linecolor=red]{-5}{5}{-.5 x mul 1.5 add}
\multido{\i=-2+1}{6}{\psline(\i,-.1)(\i,.1)\rput(\i,-.3){$\i$}}
\multido{\i=-2+1}{6}{\psline(-.1,\i)(.1,\i)\rput[r](-.2,\i){$\i$}}
\rput(1.3,1.15){$A$}
\psline(-.1,1.5)(.1,1.5)\rput[r](-.2,1.5){3/2}
\end{pspicture*}\]](/Generateur-Devoirs/1S/Chap6/exNP_c/23.png)
Correction
Une équation de la tangente à
au point d'abscisse 1 est
,
avec , donc , et ,
d'où .
Un vecteur directeur de
est ,
et appartient à la droite normale à
en si et seulement si
, avec et donc
, d'où
.L'équation réduite de la tangente est
: c'est une droite qui passe par et d'ordonnée à l'origine .
L'équation réduite de cette normale est
: c'est une droite qui passe par et d'ordonnée à l'origine .
Tags:Produit scalaireFonctions et dérivées
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