Dérivées de fonctions avec exponentielles (bis)

Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale

Énoncé

Déterminer les fonctions dérivées des fonctions suivantes, sous leur forme factorisée.
a) $f(x)=xe^x+5x-1$      b) $g(x)=2e^{-3x}$      d) $h(x)=\dfrac{e^{2x}}{e^x-1}$


Correction

Correction

  1. On a un produit à dériver: $f=uv+w$, avec $u(x)=x$ donc $u'(x)=1$ et $v(x)=e^x$ donc $v'(x)=e^x$ et $w(x)=5x-1$ donc $w'(x)=5$.
    On a alors $f'=u'v+uv'+w'$ soit
    \[f'(x)=e^x+xe^x+5=e^x(1+x)+5\]


  2. On a $g=2e^u$ avec $u(x)=-3x$ donc $u'(x)=-3$ et alors $g'=2u'e^u$, soit
    \[g'(x)=2(-3)e^{-3x}=-6e^{-3x}\]


  3. On a un quotient à dériver: $h=\dfrac{u}v$ avec $u(x)=e^x$ soit $u=e^w$ donc $u'=w'e^w$ donc $u'(x)=2e^{2x}$, et $v(x)=e^x-1$ donc $v'(x)=e^x$.
    On a alors $h'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ soit
    \[\begin{array}{ll}h'(x)&=\dfrac{2e^{2x}(e^x-1)-e^{2x}e^x}{(e^x-1)^2}\\[1em] &=\dfrac{e^{2x}\Bigl(2(e^x-1)-e^x\Bigr)}{(e^x-1)^2}\\[1em] &=\dfrac{e^{2x}(e^x-2)}{(e^x-1)^2}\enar\]



Tag:Exponentielle

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