Tableaux de signe avec exponentielles (bis)

Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale

Énoncé

Donner le tableau de signe des expressions suivantes:
a) $f(x)=e^{-2x}-e^{x+3}$      b) $g(x)=(2x^2+3x-5)\left( e^x-1\rp$      c) $h(x)=\dfrac{e^{-x}(-2x+4)}{e^x+e^{2x}}$


Correction

Correction

  1. On a
    \[f(x)>0\iff e^{-2x}>e^{x+3}\]

    et donc, comme la fonction exponentielle est strictement croissante,
    \[f(x)>0\iff -2x>x+3\iff x<-1\]

    (et on n(oublie pas de changer l'ordre en divisant par $-3<0$).
    On a ainsi le tableau de signe:
    \[\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline $x$ & $-\infty$ && $-1$& & $+\infty$ \\\hline $f(x)$&& $+$ &0& $-$ &\\\hline \end{tabular}\]


  2. On a un produit.
    • le premier facteur est un trinôme du second degré, de discriminant $\Delta=49>0$ et qui admet donc deux racines $x_1=\dfrac{-3-\sqrt{49}}{2\tm2}=-\dfrac52$ et $x_2=\dfrac{-3+\sqrt{49}}{2\tm2}=1$.
    • $e^x-1>0\iff e^x>1=e^0\iff x>0$ car la fonction exponentielle est strictement croissante.
    On peut alors dresser le tableau de signe:
    \[\begin{tabular}{|c|ccccccccc|}\hline $x$ & $-\infty$ && $-5/2$&& 0 && 1 && $+\infty$ \\\hline $2x^2+3x-5$&& $+$ &0 & $-$ & $|$ &$-$ &0& $+$ &\\\hline $e^x-1$&& $-$ &$|$& $-$ &0& $+$ &$|$& $+$ &\\\hline $g(x)$&& $-$ &0& $+$ &0& $-$ &0& $+$ &\\\hline \end{tabular}\]

  3. Pour le dénominateur, on a $e^x>0$ et $e^{2x}>0$ et donc pour la somme $e^x+e^{2x}>0$, et on dresse alors le tableau de signe
    \[\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline $x$ & $-\infty$ && 2 && $+\infty$ \\\hline $e^{-x}$&& $+$ &$|$& $+$ &\\\hline $-2x+4$ && $+$ &0& $-$ &\\\hline $e^x+e^{2x}$&& $+$ &$|$& $+$ &\\\hline $h(x)$ && $+$ &0& $-$ &\\\hline \end{tabular}\]



Tag:Exponentielle

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