Calcul d'un angle et distance d'un point à une droite: projeté orthogonal

Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale

Dans le plan muni d'un repère orthonormé, soit les points $A(3;-2)$, $B(5;2)$ et $C(-1;1)$.
  1. Calculer le produit scalaire $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$
  2. Montrer que $\cos\lp\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\rp=\dfrac{2}{5\sqrt5}$, puis en déduire l'angle $\widehat{BAC}$ au dixième de degré près.
  3. Soit le point $H$ projection orthogonale du point $C$ sur la droite $(AB)$.
    Calculer la longueur $AH$ puis en déduire $HC$ (donner les valeurs exactes).

Correction

\[\psset{unit=1cm,arrowsize=9pt} \begin{pspicture}(-2.5,-3)(6,3) \psline[linewidth=1.6pt]{->}(-2.3,0)(6,0) \psline[linewidth=1.6pt]{->}(0,-3)(0,3) \rput(3,-2){$\tm$}\rput(3.2,-2.2){$A$} \rput(5,2){$\tm$}\rput(5.2,2.2){$B$} \rput(-1,1){$\tm$}\rput[r](-1.2,1){$C$} \pspolygon(3,-2)(5,2)(-1,1) \multido{\i=-2+1}{8}{\psline(\i,-.1)(\i,.1)} \multido{\i=-2+1}{5}{\psline(-.1,\i)(.1,\i)} \psline(-1,1)(3.37,-1.25)\rput(3.6,-1.3){$H$} \psline(3.2,-1.15)(3.3,-.94)(3.48,-1.03) \end{pspicture}\]


  1. On a $\overrightarrow{AB}\lp\begin{array}{c}2\\4\enar\rp$ et $\overrightarrow{AC}\lp\begin{array}{c}-4\\3\enar\rp$ d'où $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=2\tm(-4)+4\tm3=4$
  2. On a aussi $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=AB\times AC\times\cos\lp\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\rp$, avec $AB=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{20}=2\sqrt5$ et $AC=\sqrt{(-4)^2+3^2}=5$,
    d'où $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=2\sqrt5\tm5\tm\cos\lp\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\rp$.

    On a donc, en utilisant la question précédente,
    \[\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=4=2\sqrt5\tm5\tm\cos\lp\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\rp\]

    soit aussi
    \[\cos\lp\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\rp=\dfrac4{2\sqrt5\tm5}=\dfrac2{5\sqrt5}\]

    Avec l'aide de la caclulatrice, on trouve alors la valeur approché de l'angle
    \[\widehat{BAC}\simeq79,7^\circ\]


  3. On peut soit utiliser la trigonométrie dans le triangle rectangle $AHC$, dans lequel
    \[\cos\hat{A}=\dfrac{AH}{AC}\]

    soit en utilisant les valeurs précédentes de $AC$ et du cosinus,
    \[\cos\hat{A}=\dfrac2{5\sqrt5}=\dfrac{AH}5\]

    d'où $AH=\dfrac2{\sqrt5}$
    Deuxième méthode, avec le produit scalaire: comme $H$ est le projeté orthogonal, on a $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AH}=AB\times AH$.

    On en déduit alors, en tuilisant le théorème de Pythagore dans le triangle $AHC$ rectangle en $H$,
    \[\begin{array}{lll} &AC^2&=HC^2+AH^2\\\iff&HC^2&=AC^2-AH^2\\ &&=5^2-\lp\dfrac2{\sqrt5}\rp^2=\dfrac{121}5\enar\]

    d'où
    \[HC=\dfrac{11}{\sqrt5}\]



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