Puissance d'une matrice, par récurrence

Exercice corrigé - Maths expertes, terminale générale

Énoncé

Soit la matrice $B=\lp\begin{array}{cc}5&-1\\10&-2\enar\rp$.
Montrer que $B^2=3B$ (détailler les calculs), puis en déduire $B^3$.
Donner alors $B^k$ pour tout entier $k$ non nul (démontrer la formule, bien sûr).


Correction

Correction

On calcule $\begin{array}[t]{ll} B^2&=\lp\begin{array}{cc}5&-1\\10&-2\enar\rp\,\lp\begin{array}{cc}5&-1\\10&-2\enar\rp\\[1em] &=\lp\begin{array}{cc}5\tm5+(-1)\tm10&5\tm(-1)+(-1)\tm(-2)\\10\tm5+(-2)\tm10&10\tm(-1)+(-2)\tm(-2)\enar\rp\\[1em] &=\lp\begin{array}{cc}15&3\\30&-6\enar\right) =3B \enar$
On en déduit alors que $B^3=BB^2=B(3B)=3B^2=3(3B)=9B$.

On a $B^2=3B$ et $B^3=3^2B$. On peut conjecturer que $B^k=3^{k-1}B$ pour tout entier $k$ non nul.
On le démontre par récurrence.
Initialisation: La propriété est vraie pour $k=1$, car $B^1=3^{1-1}B=3^0B=B$, et a même déjà été vérifiée pour $k=2$ et $k=3$.
Hérédité: Supposons que pour un entier non nul $k$ on ait $B^k=3^{k-1}B$,
alors on a $B^{k+1}=BB^k$
soit, en utilisant l'hypothèse de récurrence, $B^{k+1}=B(3^{k-1}B)$
soit aussi $B^{k+1}=3^{k-1}B^2$. Or on a vu que $B^2=3B$, et on obtient donc que $B^{k+1}=3^{k-1}\tm3B=3^kB$, ce qui montre que notre propriété est encore vraie au rang suivant $k+1$.
Conclusion: on vient de démontrer, d'après le principe de récurrence, que pour tout entier $k\geqslant1$, $B^k=3^{k-1}B$.


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