Puissance d'une matrice, par récurrence
Exercice corrigé - Maths expertes, terminale générale
Énoncé
Soit la matrice 
.
Montrer que
(détailler les calculs), puis en déduire 
.
Donner alors
pour tout entier 
non nul (démontrer la formule, bien sûr).
. Montrer que
(détailler les calculs), puis en déduire .
Donner alors
pour tout entier non nul (démontrer la formule, bien sûr).
Correction
![$\begin{array}[t]{ll}
B^2&=\lp\begin{array}{cc}5&-1\\10&-2\enar\rp\,\lp\begin{array}{cc}5&-1\\10&-2\enar\rp\\[1em]
&=\lp\begin{array}{cc}5\tm5+(-1)\tm10&5\tm(-1)+(-1)\tm(-2)\\10\tm5+(-2)\tm10&10\tm(-1)+(-2)\tm(-2)\enar\rp\\[1em]
&=\lp\begin{array}{cc}15&3\\30&-6\enar\right)
=3B
\enar$](/Generateur-Devoirs/Mex/Matrices/expowrec_c/1.png)
On en déduit alors que
.
On a
et 
.
On peut conjecturer que 
pour tout entier 
non nul.
On le démontre par récurrence.
Initialisation: La propriété est vraie pour
, car 
, et a même déjà été vérifiée pour 
et 
.
Hérédité: Supposons que pour un entier non nul
on ait 
,
alors on a
soit, en utilisant l'hypothèse de récurrence,
soit aussi
.
Or on a vu que 
, et on obtient donc que
, ce qui montre que notre propriété est encore vraie au rang suivant 
.
Conclusion: on vient de démontrer, d'après le principe de récurrence, que pour tout entier
, 
.
Correction
On calcule
On en déduit alors que
.
On a
et .
On peut conjecturer que pour tout entier non nul.
On le démontre par récurrence.
Initialisation: La propriété est vraie pour
, car , et a même déjà été vérifiée pour et .
Hérédité: Supposons que pour un entier non nul
on ait ,alors on a
soit, en utilisant l'hypothèse de récurrence,
soit aussi
.
Or on a vu que , et on obtient donc que
, ce qui montre que notre propriété est encore vraie au rang suivant .
Conclusion: on vient de démontrer, d'après le principe de récurrence, que pour tout entier
, .
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