Devoir de maths corrigé, Matrices

Maths expertes, terminale générale

Devoir de mathématiques, et corrigé, sur le calcul matriciel posé en maths expertes, terminale générale, année scolaire 2024/2025

Exercice 1: Calculs matriciels: additions et produits de matrices

On considère les matrices
$A=\lp\begin{array}{ccc}2&0&-3\\1&2&0\\-2&0&1\enar\rp$, $B=\lp\begin{array}{ccc}-1&2&6\\3&3&6\\9&8&-1\enar\rp$, $C=\lp\begin{array}{cc}1&2\\0&3\\1&1\enar\rp$ et $D=\lp\begin{array}{ccc}1&0&-1\enar\rp$


Calculer les matrices $E=B+A$, $F=-3C$, $G=AC$ et $H=DC$

Correction exercice 1


On calcule les additions et produits matriciels
\[E=B+A=\lp\begin{array}{ccc}1&2&3\\4&5&6\\7&8&0\enar\rp\]


\[F=\lp\begin{array}{cc}-3&-6\\0&-9\\-3&-3\enar\rp\]


\[G=\lp\begin{array}{ccc}2&0&-3\\1&2&0\\-2&0&1\enar\rp\lp\begin{array}{cc}1&2\\0&3\\1&1\enar\rp =\lp\begin{array}{cc}-1&1\\1&8\\-1&-3\enar\rp\]

et enfin
\[H=\lp\begin{array}{ccc}1&0&-1\enar\rp\lp\begin{array}{cc}1&2\\0&3\\1&1\enar\rp =\lp\begin{array}{cc}0&1\enar\rp\]



Cacher la correction

Exercice 2: Puissances d'une matrice

Soit la matrice $A=\lp\begin{array}{cc}-2&1\\-3&1\enar\rp$. Calculer $A^2$ et $A^3$ puis $A^{32}$.

Correction exercice 2


On calcule les produits définissant les puissances de la matrice
\[A^2=\lp\begin{array}{cc}-2&1\\-3&1\enar\rp\lp\begin{array}{cc}-2&1\\-3&1\enar\rp =\lp\begin{array}{cc}1&-1\\3&-2\enar\right) \]

et
\[A^3 =\lp\begin{array}{cc}-2&1\\-3&1\enar\rp\lp\begin{array}{cc}1&-1\\3&-2\enar\rp =\lp\begin{array}{cc}1&0\\0&1\enar\right) \]

On en déduit alors, en utilisant les règles de calcul sur les puissances,
\[A^{32}=A^{3\tm10+2}=A^2\left( A^{10}\rp^3=A^2I^3=A^2\]



Cacher la correction

Exercice 3: Inverse d'une matrice

Soit la matrice $A=\lp\begin{array}{cc}a&1\\b&2\enar\rp$. Déterminer les éventuelle valeurs des nombres réels $a$ et $b$ pour lesquels la matrice $A$ est inversible avec $A^{-1 }=A$.
Donner alors cette matrice $A^{-1}$.

Correction exercice 3


Si $A$ est inversible avec $A^{-1}=A$ alors
\[AA^{-1}=A^2=I_2\]

On calcule le produit:
\[A^2=\lp\begin{array}{cc}a&1\\b&2\enar\rp\lp\begin{array}{cc}a&1\\b&2\enar\rp =\lp\begin{array}{cc}a^2+b&a+2\\ab+2b&b+4\enar\rp\]

Ainsi $A^2=I_2=\lp\begin{array}{cc}1&0\\0&1\enar\rp$ lorsque
\[\la\begin{array}{rcl} a^2+b&=&1\\ a+2&=&0\\ ab+2b&=&0\\ b+4&=&1 \enar\right.\]

La 2ème et la 4ème équation donnent directement $a=-2$ et $b=-3$.
Comme on vérifie que ces valeurs conviennent aussi pour les deux autres équations:
\[a^2+b=(-2)^2+(-3)=1\]

et
\[ab+2b=-2(-3)+2(-3)=0\]

on en déduit que $A$ est bien inversible avec $A^{-1}=\lp\begin{array}{cc}-2&1\\-3&2\enar\rp$.

Cacher la correction

Exercice 4: Matrices qui commutent

$A$ et $B$ sont deux matrices carrées d'ordre $n$ telles que $AB = A + I_n$.
On suppose que $A$ est inversible et que $A^{-1} = B-I_n$, démontrer alors que $A$ et $B$ commutent, c'est-à-dire que $AB = BA$

Correction exercice 4


En utilisant la définition de la matrice inverse $A$ et la matrice inverse $A^{-1}$ donnée, on a
\[A^{-1}A=(B-I_n)A=BA-A=I_n\]

et on trouve donc que $BA=A+I_n$ qui est aussi exactement l'epxression du produit $AB$.
On a donc ainsi bien trouvé que $AB=BA$, c'est-à-dire que ces matrices commutent.

Cacher la correction


Quelques autres devoirs



Quelques exercices corrigés

Exercices corrigés
Définition d'une matrice - Matrice Transposée


Exercices corrigés
Calculs matriciels: additions et produits de matrices


Exercices corrigés
Inverse d'une matrice avec des paramètres


Exercices corrigés
Matrices qui commutent


Exercices corrigés
Résolution d'une équation matricielle





Voir aussi:
ccc