Matrices
Calcul matriciel et quelques applications
Introduction
Si les matrices sous leur formalisme actuel sont relativement récentes (début du XXe siècle), avec notamment l'appui de Heisenberg, l'intérêt pour les "tableaux de chiffres" est bien plus ancien.Par exemple, le problème des "carrés magiques" intriguait déjà les mathématiciens chinois en 650 av. J.-C. et les systèmes d'équations linéaires furent complètement résolus trois siècles plus tard. La méthode de Cramer (1750) en est l'équivalent moderne.
En 1925, Heisenberg utilise la théorie des matrices pour formuler la mécanique quantique (alors aussi appelée "mécanique matricielle", et qui est la première définition complète et correcte de la mécanique quantique), ancrant définitivement dans l'esprit des mathématiciens l'intérêt indéniable de ces objets, et convaincant les physiciens de l'efficacité de son utilisation.
Dans les années qui suivent, de nombreux résultats furent découverts, en cryptographie, en calcul, en théorie des graphes, en optique...
La décomposition de matrices s'utilise dans de très nombreux domaines, par exemple dans le but
- de diminuer le temps de calcul informatique de simulations numériques de phénomènes physiques, écono\-miques,~\dots, et donc de permettre d'en réaliser de plus précises, plus complexes et donc plus réalistes.
- de séparer le bruit d'une image (décomposition en valeurs singulières), ou plus généralement d'un signal perturbé
- de repérer les caractéristiques d'un code génétique ou d'étudier automatiquement des données statistiques (analyse en composantes principales)
- …
Exercice 1: Carrés magiques
- Compléter le tableau suivant avec les nombres de 1
à 9 de telle manière que la somme des nombres sur chaque ligne, sur
chaque colonne et sur chaque diagonale soit égale à 15.
2 5 4
- On peut de même rechercher un carré magique d'ordre 4, les sommes
étant cette fois de 34:
16 3 10 9 4 14 1
Correction
-
2 7 6 9 5 1 4 3 8
-
16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1
Dans ce carré, la somme des quatre chiffres figurant dans les quatre cases centrales ou encore dans les quatre cases d'angle vaut aussi 34. Carré magique qui apparaît sur Melencolia, gravure de l'artiste peintre allemand Albrecht Dürer (qui a réussi aussi à caser l'année de sa peinture, dans les deux cases centrales de la dernière ligne).
Un autre carré magique sur la façade de la Passion de la basilique la Sagrada Familia à Barcelone, avec pour somme 33 (l'âge du Christ à sa mort)
Exercice 2: Sudoku
-
4 5 3 4 7 2 2 6 8 1 7 2 9 6 5 8 4 1 6 7 2 9 4 7 8 6 8 6 5 2 2 8
-
5 6 7 9 4 8 5 1 2 6 8 4 5 9 8 3 1 3 5 6 1 9 4 8 7 2 3 7 5 6 5 3 1
Correction
-
7 4 1 5 2 9 8 3 6 6 8 3 4 1 7 5 9 2 9 5 2 3 6 8 1 7 4 4 2 9 8 7 1 3 6 5 3 7 8 2 5 6 4 1 9 1 6 5 9 3 4 7 2 8 2 9 4 7 8 3 6 5 1 8 1 7 6 9 5 2 4 3 5 3 6 1 4 2 9 8 7
-
5 6 8 7 1 4 9 2 3 7 9 4 8 3 2 1 5 6 3 1 2 5 6 9 4 7 8 4 5 6 9 2 8 3 1 7 9 8 1 3 4 7 5 6 2 2 3 7 6 5 1 8 9 4 8 4 9 1 7 6 2 3 5 1 7 3 2 8 5 6 4 9 6 2 5 4 9 3 7 8 1
Exercice 3: systèmes d'équations
Résoudre les systèmes: 3x + 2y= 7 −x + y = 1 et 3x − 2y + z= −6 2y − 3z = 16 −3x + 3y + 2z = 5
Correction
Voir aussi: Rappels et autres systèmes résolus avec correction détaillée.
On trouve pour le premier système: x = 1 et y = 2
Pour le deuxième système, on trouve x = 2, y = 5 et z = −2
Définitions
Définition
Une matrice de dimension n×p est un tableau de réels à n lignes et p colonnes.
De façon générale, on note ai,j le terme de la ligne i et de la colonne j.
On note aussi A = (ai,j) la matrice.
Exemple: A = 23−5 −106 est une matrice de dimension 2×3, dans laquelle, par exemple, a1,1 = 2 et a2,3 = 6
Soit A = 111 et B = 123 deux points de l'espace; A et B peuvent être considérés comme des matrices de dimension 1×3, et le vecteur AB 0 1 2 comme une matrice de dimension 3×1.
Définition: Matrices particulières
Soit M une matrice de dimension n×p:
- Si n = p, alors M est une matrice carrée d'ordre n
- Si n = 1, M est un vecteur ligne de dimension p (par exemple, les points A et B précédents)
- Si p = 1, M est un vecteur colonne de dimension n (par exemple le vecteur AB précédent).
- Une matrice diagonale d'ordre n est une matrice carrée dont tous les coefficients hors de la diagonale sont nuls.
Exercice 4
Écrire explicitement les matrices:
- A la matrice de dimension 3×4 définie par Ai,j = i + j
- B la matrice de dimension 5×3 définie par bi,j = 0 si i≥j et bi,j = ij si i<j
- C la matrice de dimension 5×3 définie par ci,i = 0 et ci,j = max(i,j) si i≠j
A =
2345
3456
4567
B =
023
006
000
000
000
C =
023
203
330
444
555
Définition: Matrices égales
Deux matrices A et B sont égales si et seulement si elles ont même dimension n×p et que, pour tous 1≤i≤n et 1≤j≤p,
on a ai,j = bi,j.
Exemple: abc def = 23−5 −106 est équivalent à a=2, b=3, c=−5, …
Définition: Matrice transposée
Soit A une matrice de dimension n×p.
On appelle transposée de la matrice A, notée tA, la matrice de dimension p×n dont les lignes sont les colonnes de A.
Exercice 5
Écrire les matrices transposées de
M=
4−2
35
,
N=
12
34
56
,
P=
1−2
3−4
,
Q=
−3
2
1
, et
R=
1−23−4
tM=
43
25
,
tN=
135
246
,
tP=
13
−2−4
,
tQ=
−321
, et
tR=
1
−2
3
−4
,
Opérations sur les matrices
Définition
Soit A et B deux matrices de même dimension n×p.
La somme A+B est la matrice obtenue en additionnant deux à deux les termes qui ont la même position dans A et B.
Si A = (ai,j) et B = (bi,j), alors A+B = (ai,j + bi,j).
Pour un nombre réel k, la matrice C=kA est la matrice C = (ci,j) avec ci,j = kai,j, obtenue en multipliant chaque terme de A par k.
Exercice 6
- Calculer A+B avec A= 6−1 −10 −45 et B= 1−3 03 210
- Calculer C = 2A−B avec A= 1−13 −103 −451 et B= 2−14 −132 256
A+B=
7−4
−13
−215
et
C=
0−12
−1−34
−105−4
Exercice 7
Soit
A=
2−3
−110
et
B=
6−5
7−12
.Déterminer la matrice C telle que A+2C = 3B.
On a
C=12(3B−A)
=
8−6
11−23
Exercice 8
Soit les vecteurs de l'espace
u =
1
0
−3
et
v =
7
−2
1
.
Déterminer les coordonnées du vecteur w = 2v−3u.
Un peu de géométrie dans l'espace aussi !
On trouve
w =
−19
6
−9
.
Produit de matrices
Définition: Produit matriciel
Soit A une matrice de dimension n×p et B une matrice de dimension m×q.
Le produit des matrices A et B est défini lorsque p = m et alors C = AB est la matrice de dimension n×q, définie par
ci,j =
p
∑
k=1
ai,kbk,j
Exemples:
- Le produit de la matrice A de dimension 3×7 et de la matrice B de dimension 7×5 existe et C = AB est de dimension 3×5.
- Le produit des matrices A de dimension 3×5 et B de dimension 7×5 n'existe pas.
- Soit
A =
23
−5−1
06
de dimension 3×2
et
B =
25
−41
de dimension 2×2,
alors la matrice produit C = AB est de dimension 3×2 avec
C = 23 −5−1 06 25 −41 = −813 −6−26 −246
Exercice 9
Soit
A =
53−1
423
et
B =
−204
123
456
Quelle est la dimension de la matrice produit AB ?
Calculer la matrice produit C=AB.
Le produit C = AB d'une matrice
2×3 par une matrice 3×3 est une matrice de dimension
2×3, avec ici
C =
3123
6−1140
Exercice 10
Soit
A =
12
12
et
B =
−20
1−1
Quelles sont les dimensions des matrices produits AB et BA ?
Calculer ces deux matrices produits.
Dans les deux sens, le produit AB ou BA d'une matrice
2×2 par une matrice 2×2 est une matrice de dimension
2×2, avec plus précisément
AB =
0−2
0−2
et
BA =
24
00
.
On remarque que ce produit n'est pas commutatif: AB ≠ BA
On remarque que ce produit n'est pas commutatif: AB ≠ BA
Exercice 11
Soit
A =
23
10
et
B =
11
−32
Déterminer les dimensions des matrices produits AB et BA, puis les calculer.
Dans les deux sens, le produit AB ou BA d'une matrice
2×2 par une matrice 2×2 est une matrice de dimension
2×2, avec plus précisément
AB =
−78
11
et
BA =
33
−4−9
.
On retrouve à nouveau que ce produit n'est pas commutatif: AB ≠ BA
On retrouve à nouveau que ce produit n'est pas commutatif: AB ≠ BA
Exercice 12
Soit
A =
2−6
3−9
et
B =
9−3
3−1
Calculer AB et BA.
AB =
00
00
et
BA =
9−27
3−9
.
Remarque: On peut donc avoir pour deux matrices A et B, un produit nul: AB=0, MAIS ni A=0, ni B=0.
Pas d'équation produit nul avec les matrices !
Définition:
Pour une matrice carrée A d'ordre n, on note, pour un entier non nul k,
An =
A × A × … × A
n matrices
Exercice 13
A =
2−3
4−5
.
Déterminer les dimensions des matrices A2 et A3, puis les calculer.
A est de dimension 2×2 donc A2=A×A,
puis A3=A×A×A sont de dimension 2×2, avec
A2 =
−89
−1213
, et
A3 =
20−21
28−29
.
Propriétés:
Soit A, B et C trois matrices et k∈R, alors, lorsque les produits existent, on a les propriétés
- associativité: (AB)C = A(BC) = ABC et (kA)B = A(kB) = k(AB) = kAB
- distributivité: A(B+C) = AB+AC et k(A+B) = kA+kB
MAIS, comme on l'a déjà vu, le produit n'est pas commutatif: en général AB≠BA.
En particulier, en général
(A+B)2
= (A+B)(A+B)
= A2 + AB + BA + B2
≠ A2 + 2AB + B2
Les identités remarquables (et d'autres formules) ne restent vraies pour les matrices que lorsque celles-ci commutent.
Exercice 14
On considère les matrices
A =
100
011
311
,
B =
111
010
100
, et
C =
111
121
0−1−1
.
Calculer AB et AC.
En déduire une matrice M telle que AM = 03, où la matrice 03 est la matrice nulle, ne contenant que des 0.
On calcule les produits
AB =
111
110
443
, et
AC =
111
110
443
On a donc AB = AC ou encore
On a donc AB = AC ou encore
AB − AC = 0 ⇔ A(B − C) = 0
La matrice M recherchée peut donc être
M = B− C =
000
−1−1−1
111
Exercice 15
Soit a un réel,
A =
aa
aa
, et
N =
11
11
- Calculer NA.
- En déduire que N2 = 2N, puis exprimer N3, N4 et N5 en fonction de N.
- Quelle conjecture peut-on alors faire au sujet de Np, pour tout entier p ?
Démontrer cette conjecture.
- On calcule NA = 2a2a 2a2a = 2A
- Pour a=1 on a A = N, et donc
en utilisant le résultat précédent avec a=1, on obtient
N2 = NA = 2N.
De même,N3 = N2N = (2N)N = 2N2 = 2(2N) = 4NEnsuite,N4 = N3N = (4N)N = 4N2 = 4(2N) = 8N -
On peut alors conjecturer que Np = 2pN.
Cette conjecture se démontre par récurrence:
Initialisation: d'après la question précédente, la propriété est vraie pour p=1 ainsi que p=2 et p=3
Hérédité: supposons que, pour un certain entier p on ait Np = 2pN.
On a alors, au rang suivant:Np+1 = NpNet donc, en utilisant l'hypothèse de récurrence:Np+1 = (2pN)N = 2pN2et enfin, comme N2 = 2N, on obtientNp+1 = 2p2N2 = 2p+1Nce qui montre que la propriété est encore vraie au rang p+1 suivant.
Conclusion: on vient donc de montrer, d'après le principe de récurrence, que pour tout entier p on a Np = 2pN.
Exercice 16
Soit
M =
−11
−55
Montrer que M2 = 4M. En déduire M3 puis M4, puis Mn pour tout entier n≥1.
On vérifie bien le résultat du produit matriciel
M2 = MM = 4M.
Ensuite, comme dans l'exercice précédent, on a
On démontre cette conjectuire par récurrence.
Initialisation: les calculs précédents initialisent la récurrence n=2 ainsi que n=3 et n=4
Hérédité: supposons que, pour un certain entier n on ait Mn = 4pM.
On a alors, au rang suivant:
Conclusion: on vient donc de montrer, d'après le principe de récurrence, que pour tout entier n on a Mp = 4nM.
Ensuite, comme dans l'exercice précédent, on a
M3 = M2M = (4M)M =4M2 = 4(4M) = 42M
et de même,
M4 = M3M = (42M)M = 42M2 = 42(4M) = 43M
et on peut conjecturer que, pour tout enter n, on a Mn = 4nM.
On démontre cette conjectuire par récurrence.
Initialisation: les calculs précédents initialisent la récurrence n=2 ainsi que n=3 et n=4
Hérédité: supposons que, pour un certain entier n on ait Mn = 4pM.
On a alors, au rang suivant:
Mn+1 = MnM
et donc, en utilisant l'hypothèse de récurrence:
Mn+1
= (4nM)M
= 4nM2
et enfin, comme M2 = 4M, on obtient
Mn+1
= 4n4M2 = 4n+1M
ce qui montre que la propriété est encore vraie au rang n+1 suivant.
Conclusion: on vient donc de montrer, d'après le principe de récurrence, que pour tout entier n on a Mp = 4nM.
Inverse d'une matrice
Définition: Matrice unité
On note In la matrice carrée d'ordre n qui comporte des 1 sur sa diagonale, et des zéros ailleurs.
Exemples: I2 = 10 01 I3 = 100 010 001 I4 = 1000 0100 0010 0001
Exercice 17
Soit
A =
25
−41
Calculer les produits AI2
et I2A.
On calcule simplement les produits matriciels qui donnent
AI2 = I2A = A
La multiplication par la matrice unité, à droite ou à gauche, ne change pas la matrice. C'est la propriété générale suivante:
Propriétés:
Pour toute matrice A tel que le produit existe, on a AIn = InA = A.
On pose aussi par convention A0 = In.
Exercice 18
On considère les matrices
U =
13
111
111
111
et V = I3 − U.
Calculer les matrices suivantes: a) U2 b) V2 c) UV d) VU
On trouve, en calculant les produits matriciels,
U2 =
19
333
333
333
= U
puis
Ensuite,
puis
V2 = (I3 − U)2
= I32 − 2U + U2
et donc, comme I32 = I3I3 = I3, et en utilisant le résultat précédent,
V2 = I3 − 2U + U = I3 − U = V
Ensuite,
UV = U(I3 − U)
= UI3 − U2
= U−U = 0
De même, enfin, on trouve aussi que VU est la matrice nulle.
Définition: Matrice inverse
Une matrice carrée d'ordre n est dite inversible lorsqu'il existe une matrice B telle que:
AB = BA = In
Dans ce cas, cette matrice B est unique et s'appelle matrice inverse de A, notée B = A−1.
Exemple: Soit A = 12 34 alors A est inversible, avec A−1 = −21 1,5−0,5
En effet, AA−1 = … = I2, et de m\^eme que A−1A = … = I2. (faire les calculs…)
Exercice 19
Soit
A =
25
38
Vérifier que B = 8−5 −32 est bien l'inverse de la matrice A
On effectue les calculs matriciels, et on trouve bien que
AB = BA = I2
c'est-à-dire que A est bien inversible , et d'inverse
A−1 = B.
Exercice 20
Soit
A =
123
01−1
001
et
B =
1−25
011
001
- Montrer que B est l'inverse de A.
- En déduire les solutions de l'équation XA = 112 −213
- On effectue les calculs matriciels pour vérifier qu'effectivement, AB = BA = I3
- On multiplie cette équation, à droite, par B, ce qui donne
XAB = 112 −213 Boù XAB = XI3 = X et il reste à calculer le produit matriciel de droite:X = 112 −213 1−25 011 001et on trouve donc,X = 1−18 −25−6
Exercice 21
On considère la matrice
A =
41
32
Calculer 6A−A2. En déduire que la matrice A est inversible et donner sa matrice inverse.
On calcule
On cherche à montrer que A est inversible, c'est-à-dire qu'il existe une matrice B telle que
6A−A2 =
50
05
c'est-à-dire que
6A−A2 = 5I3
On cherche à montrer que A est inversible, c'est-à-dire qu'il existe une matrice B telle que
AB = BA = I3
Dans le résultat du calcul matriciel précédent, on peut isoler la matrice unité pour obtenir:
6A−A2 = 5I3
⇔ I3
= 15(6A−A2)
et enfin en factorisant on obtient
15A(6I3−A)
= I3
et on peut alors identifier la matrice B recherchée:
B = A−1 =
15(6I3−A)
Exercice 22
On considère la matrice
A
−111
1−11
11−1
Vérifier que A2 = 2I3−A, et en déduire que la matrice A est inversible et donner sa matrice inverse.
On a d'une part
A2 =
3−1−1
−13−1
−1−13
et d'autre part,
2I3−A =
3−1−1
−13−1
−1−13
et on vérifie donc bien ainsi l'égalité A2 = 2I3−A.
Pour montrer que A est inversible, on cherche une matrice B telle que AB = I3.
On isole donc la matrice unité dans la relation précédente,
Pour montrer que A est inversible, on cherche une matrice B telle que AB = I3.
On isole donc la matrice unité dans la relation précédente,
12(A2+A) = I3
soit aussi en factorisant par A,
12A(A+I3) = I3
et on identifie donc bien la matrice inverse B recherchée:
B = 12(A+I3) = A−1
soit encore,
A−1 =
12
011
101
110
Exercice 23
Soit
A
01−1
−12−1
1−12
Calculer A2 − 3A.
En déduire que la matrice A est inversible et calculer A−1.
On a
A2 =
−23−3
−34−3
3−34
et donc
Pour montrer que A est inversible, on cherche une matrice B telle que AB = I3.
On isole donc la matrice unité dans la relation précédente,
A2 − 3A =
−200
0−20
00−2
et on trouve donc ainsi l'égalité
A2 − 3A = −2I3
.
Pour montrer que A est inversible, on cherche une matrice B telle que AB = I3.
On isole donc la matrice unité dans la relation précédente,
1−2(A2−3A) = I3
soit aussi en factorisant par A,
−12A(A−3I3) = I3
et on identifie donc bien la matrice inverse B recherchée:
B = −12(A−3I3) = A−1
soit encore,
A−1 =
−12
−31−1
−1−1−1
1−1−1
Exercice 24
- Résoudre le système d'équations: 2x + y = 7 −x + y = 1
- Écrire ce système sous la forme matricielle AX = B avec X = x y et A et B deux matrices à préciser.
- Pour a et b deux nombres quelconques, résoudre le système d'équations:
2x + y = a
−x + y = b
Exprimer les solutions x et y en fonction de a et b.
On écrira finalement la solution X = x y sous la forme matricielle X=A'B avec B= a b , en précisant le matrice A'.
Quel lien y-a-t-il entre les matrices A et A' ?
- Voir aussi: Rappels et autres systèmes résolus avec correction détaillée.
En soustrayant la 2ème équation à la 1ère, on trouve 3x = 6 soit x = 2.
Ensuite, en substituant dans la 2ème équation par exemple, on trouve −2+y = 1 soit y = 3. - Ce système s'écrit sous forme matricielle AX = B avec les matrices A = 21 −11 , X = x y , et le second membre B = 7 1
- On résout le système de la même façon qu'à la 1ère question: on soustrait la 2ème équation à la 1ère pour obtenir
3x = a−b, soit
x = 13a−13b
et on trouve alors en substituant dans la 2ème équation,
y = b + 13(a−b) = 13a + 23b
On peut écrire cette solution sous la forme matricielle X=A'B avec X= x y , B= a b , et la matrice A' = 13 1−1 12
Si la matrice A est inversible, on a en multipliant à gauche par la matrice inverseAX = B ⇔ X = A−1Bqui est exactement la relation qu'on a a trouvée précédement, et qui montre donc que la matrice A est effectivement inverse avec pour inverseA−1 = A' = 13 1−1 12
Définition: déterminant d'une matrice d'ordre 2
Pour une matrice carrée A d'ordre 2,
A =
ab
cd
,
on appelle déterminant de A le nombre
det(A) = ad−bc
Propriétés: Inverse d'une matrice d'ordre 2
La matrice
A =
ab
cd
est inversible si et seulement si
det(A) ≠ 0, et alors dans ce cas
A−1 =
1det(A)
d−b
−ca
Exercice 25
Soit
A =
−10
23
,
B =
45
23
,
C =
2−6
3−9
, et
D =
−0,54
0,252
.
Déterminer si ces matrices sont inversibles, et calculer le cas échéant leur inverse.
On a det(A) = −1×3−2×0 = −3≠0
et la matrice A est donc inversible, avec
A−1 =
1−3
30
−2−1
.
On a det(B) = 4×3−2×5 = 2 ≠0 et la matrice B est donc inversible, avec B−1 = 12 3−5 −24 .
On a det(C) = 2×(minus;9)−3×(−6) = 0 et la matrice C n'est donc pas inversible.
On a det(D) = −0,5×2−0,25×4 = 0 et la matrice D n'est donc pas inversible non plus.
On a det(B) = 4×3−2×5 = 2 ≠0 et la matrice B est donc inversible, avec B−1 = 12 3−5 −24 .
On a det(C) = 2×(minus;9)−3×(−6) = 0 et la matrice C n'est donc pas inversible.
On a det(D) = −0,5×2−0,25×4 = 0 et la matrice D n'est donc pas inversible non plus.
Voir aussi: