Matrice nilpotente et inverse
Exercice corrigé - Maths expertes, terminale générale
Énoncé
Soit
une matrice nilpotente, c'est-à-dire telle qu'il existe un entier
tel que
est la matrice nulle.
Montrer que
est inversible et que son inverse s'écrit sous la forme
.
En déduire l'inverse de la matrice
.



Montrer que


En déduire l'inverse de la matrice

Correction
![\[(I-A)(I + A + A^2 + \dots + A^{k-1})=I-A^k\]](/Generateur-Devoirs/Mex/Matrices/exnil_c/1.png)
or
est la matrice nulle, d'où
![\[(I-A)(I + A + A^2 + \dots + A^k)=I\]](/Generateur-Devoirs/Mex/Matrices/exnil_c/3.png)
ce qui montre que la matrice
est bien inversible, et d'inverse
![\[(I-A)^{-1}=(I + A + A^2 + \dots + A^{k-1})\]](/Generateur-Devoirs/Mex/Matrices/exnil_c/5.png)
On utilise la décomposition précédente pour exprimer la matrice
![\[M=I-A\]](/Generateur-Devoirs/Mex/Matrices/exnil_c/6.png)
avec la matrice
.
On vérifie que cette matrice
est bien nilpotent:
![\[\begin{array}{ll}A^2&=\lp\begin{array}{ccc}0&1&1\\0&0&1\\0&0&0\enar\rp\lp\begin{array}{ccc}0&1&1\\0&0&1\\0&0&0\enar\rp\\[2em]&=\lp\begin{array}{ccc}0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\enar\rp\enar\]](/Generateur-Devoirs/Mex/Matrices/exnil_c/9.png)
puis que
![\[\begin{array}{ll}A^3&=
\lp\begin{array}{ccc}0&1&1\\0&0&1\\0&0&0\enar\rp\lp\begin{array}{ccc}0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\enar\rp\\[2em]
&=\lp\begin{array}{ccc}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\enar\rp\enar\]](/Generateur-Devoirs/Mex/Matrices/exnil_c/10.png)
est la matrice nulle, et on en déduit, dgrâce au résultat précédent, que
est inversible, d'inverse
![\[M^{-1}=(I-A)^{-1}=I+A+A^2\]](/Generateur-Devoirs/Mex/Matrices/exnil_c/12.png)
soit
![\[M^{-1}=\lp\begin{array}{ccc}1&1&2\\0&1&1\\0&0&1\enar\rp\]](/Generateur-Devoirs/Mex/Matrices/exnil_c/13.png)
Correction
On calcule le produit, dont presque tous les termes se télescopent![\[(I-A)(I + A + A^2 + \dots + A^{k-1})=I-A^k\]](/Generateur-Devoirs/Mex/Matrices/exnil_c/1.png)
or

![\[(I-A)(I + A + A^2 + \dots + A^k)=I\]](/Generateur-Devoirs/Mex/Matrices/exnil_c/3.png)
ce qui montre que la matrice

![\[(I-A)^{-1}=(I + A + A^2 + \dots + A^{k-1})\]](/Generateur-Devoirs/Mex/Matrices/exnil_c/5.png)
On utilise la décomposition précédente pour exprimer la matrice
![\[M=I-A\]](/Generateur-Devoirs/Mex/Matrices/exnil_c/6.png)
avec la matrice


![\[\begin{array}{ll}A^2&=\lp\begin{array}{ccc}0&1&1\\0&0&1\\0&0&0\enar\rp\lp\begin{array}{ccc}0&1&1\\0&0&1\\0&0&0\enar\rp\\[2em]&=\lp\begin{array}{ccc}0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\enar\rp\enar\]](/Generateur-Devoirs/Mex/Matrices/exnil_c/9.png)
puis que
![\[\begin{array}{ll}A^3&=
\lp\begin{array}{ccc}0&1&1\\0&0&1\\0&0&0\enar\rp\lp\begin{array}{ccc}0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\enar\rp\\[2em]
&=\lp\begin{array}{ccc}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\enar\rp\enar\]](/Generateur-Devoirs/Mex/Matrices/exnil_c/10.png)
est la matrice nulle, et on en déduit, dgrâce au résultat précédent, que

![\[M^{-1}=(I-A)^{-1}=I+A+A^2\]](/Generateur-Devoirs/Mex/Matrices/exnil_c/12.png)
soit
![\[M^{-1}=\lp\begin{array}{ccc}1&1&2\\0&1&1\\0&0&1\enar\rp\]](/Generateur-Devoirs/Mex/Matrices/exnil_c/13.png)
Tag:matrices
Voir aussi:
Quelques devoirs
sur les matrices et calcul matriciel, produit, puissance d'une matrice, définition de l'inverse d'une matrice
sur la factorisation et racines d'un polynôme complexe et matrices et calcul matriciel, diagonalisation et limites de suites
sur les matrices, calcul matriciel et les nombres complexes: géométrie, formes algébriques et exponentielles.