Matrice nilpotente et inverse

Exercice corrigé - Maths expertes, terminale générale

Énoncé

Soit $A$ une matrice nilpotente, c'est-à-dire telle qu'il existe un entier $k$ tel que $A^k$ est la matrice nulle.
Montrer que $I-A$ est inversible et que son inverse s'écrit sous la forme $I + A + A^2 + \dots + A^{k-1}$.
En déduire l'inverse de la matrice $M=\lp\begin{array}{ccc}1&-1&-1\\0&1&-1\\0&0&1\enar\rp$.


Correction

Correction

On calcule le produit, dont presque tous les termes se télescopent
\[(I-A)(I + A + A^2 + \dots + A^{k-1})=I-A^k\]

or $A^k$ est la matrice nulle, d'où
\[(I-A)(I + A + A^2 + \dots + A^k)=I\]

ce qui montre que la matrice $I-A$ est bien inversible, et d'inverse
\[(I-A)^{-1}=(I + A + A^2 + \dots + A^{k-1})\]


On utilise la décomposition précédente pour exprimer la matrice
\[M=I-A\]

avec la matrice $A=\lp\begin{array}{ccc}0&1&1\\0&0&1\\0&0&0\enar\rp$. On vérifie que cette matrice $A$ est bien nilpotent:
\[\begin{array}{ll}A^2&=\lp\begin{array}{ccc}0&1&1\\0&0&1\\0&0&0\enar\rp\lp\begin{array}{ccc}0&1&1\\0&0&1\\0&0&0\enar\rp\\[2em]&=\lp\begin{array}{ccc}0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\enar\rp\enar\]

puis que
\[\begin{array}{ll}A^3&= \lp\begin{array}{ccc}0&1&1\\0&0&1\\0&0&0\enar\rp\lp\begin{array}{ccc}0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\enar\rp\\[2em] &=\lp\begin{array}{ccc}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\enar\rp\enar\]


est la matrice nulle, et on en déduit, dgrâce au résultat précédent, que $M=I-A$ est inversible, d'inverse
\[M^{-1}=(I-A)^{-1}=I+A+A^2\]

soit
\[M^{-1}=\lp\begin{array}{ccc}1&1&2\\0&1&1\\0&0&1\enar\rp\]



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