Devoir corrigé de maths en Première générale, spécialité mathématiques

Matrices et nombres complexes

Devoir de mathématiques, et corrigé, posé en maths expertes, terminale générale, année scolaire 2023/2024

Exercice 1: Calculs matriciels avec des matrices carrées 2x2

Soit $A=\lp\begin{array}{cc}2&3\\-5&4\enar\rp$ et $B=\lp\begin{array}{cc}-1&-2\\3&-4\enar\rp$
  1. Calculer $(A+B)^2$.
  2. La matrice $A$ est-elle inversible ? Donner le cas échéant son inverse.
  3. Déterminer la matrice $X$ telle que $AX=\lp\begin{array}{c}1\\2\enar\rp$

Correction exercice 1
  1. On a $A+B=\lp\begin{array}{cc}1&1\\2&0\enar\rp$ et donc
    \[\begin{array}{ll}(A+B)^2&=\lp\begin{array}{cc}1&1\\-2&0\enar\rp^2\\[1.2em]
&=\lp\begin{array}{cc}1&1\\-2&0\enar\rp\lp\begin{array}{cc}1&1\\-2&0\enar\rp\\[1.2em]
&=\lp\begin{array}{cc}-1&1\\-2&-2\enar\rp\enar\]

  2. On a $\det(A)=2\tm5-(-5)\tm3=23\not=0$ et la matrice $A$ est donc inversible avec
    \[A^{-1}=\dfrac1{23}\lp\begin{array}{cc}4&-3\\5&2\enar\rp\]

  3. En multipliant par l'inverse, on obtient $AX=\lp\begin{array}{cc}1\\2\enar\rp\iff A^{-1}AX=A^{-1}\lp\begin{array}{cc}1\\2\enar\rp$ soit, comme $A^{-1}AX=I_2X=X$,
    \[X=\dfrac1{23}\lp\begin{array}{cc}4&-3\\5&2\enar\rp\lp\begin{array}{cc}1\\2\enar\rp
  =\dfrac1{23}\lp\begin{array}{cc}-2\\9\enar\right)
  \]




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Exercice 2: Puissance d'une matrice, par récurrence avec une formule explicite

On considère la matrice carrée $A=\lp\begin{array}{cc}1&2\\0&3\enar\rp$.
  1. Calculer $A^2$.
  2. Montrer que, pour tout entier naturel $n\geqslant1$, on a $A^n=\lp\begin{array}{cc}1&3^n-1\\0&3^n\enar\rp$.

Correction exercice 2

  1. \[\begin{array}{ll}A^2&=\lp\begin{array}{cc}1&2\\0&3\enar\rp\lp\begin{array}{cc}1&2\\0&3\enar\rp\\[1.2em]
  &=\lp\begin{array}{cc}1&8\\0&9\enar\rp\enar\]

  2. On montre par récurrence la propriété , pour tout entier naturel $n\geqslant1$, on a $A^n=\lp\begin{array}{cc}1&3^n-1\\0&3^n\enar\rp$.
    Initialisation: Pour $n=1$, on a $\lp\begin{array}{cc}1&3^n-1\\0&3^n\enar\rp=\lp\begin{array}{cc}1&3^1-1\\0&3^1\enar\rp
  =\lp\begin{array}{cc}1&2\\0&3\enar\rp=A$.
    Ainsi, la propriété est vraie au rang $n=1$.

    Hérédité: Supposons que pour un entier $n\geqslant1$, on ait $A^n=\lp\begin{array}{cc}1&3^n-1\\0&3^n\enar\rp$ Alors, $A^{n+1}=A^nA=\lp\begin{array}{cc}1&3^n-1\\0&3^n\enar\rp\lp\begin{array}{cc}1&2\\0&3\enar\rp=\lp\begin{array}{cc}1&2+3(3^n-1)\\0&3^n\tm3\enar\rp
=\lp\begin{array}{cc}1&3^{n+1}-1\\0&3^{n+1}\enar\rp$
    et la propriété est donc encore vraie au rang suivant $n+1$.

    Concluison: on vient donc de démontrer, d'après le principe de récurrence, que pour tout entier $n\geqslant1$, on a $A^n=\lp\begin{array}{cc}1&3^n-1\\0&3^n\enar\rp$



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Exercice 3: Exercice sur les nombres complexes: géométrie, formes algébriques et exponentielles

Soit deux nombres complexes $z_1$ et $z_2$ tels que: $z_1 = 4\sqrt2 e^{-i\frac\pi4}$ et $z_2 = -1 - i\sqrt3$.
  1. Déterminer la forme algébrique de $z_1$.
  2. Déterminer les formes trigonométrique et exponentielle de $z_2$.
  3. En déduire les formes algébrique et exponentielle de $\dfrac{z_1}{z_2}$
  4. En déduire la valeur de $\cos\dfrac{5\pi}{12}$.

Correction exercice 3
Soit deux nombres complexes $z_1$ et $z_2$ tels que: $z_1 = 4\sqrt2 e^{-i\frac\pi4}$ et $z_2 = -1 - i\sqrt3$.
  1. $z_1=4\sqrt2\lp\cos\lp-\dfrac\pi4\rp+i\sin\lp-\dfrac\pi4\rp\rp
  =4\sqrt2\lp\dfrac{\sqrt2}2-i\dfrac{\sqrt2}2\right)
  =4-4i$.
  2. On a $|z_2|=\sqrt{(-1)^2+(-\sqrt3)^2}=2$ et $\arg(z_2)=\theta$ avec $\cos\theta=\dfrac{-1}{2}$ et $\sin\theta=\dfrac{-\sqrt3}{2}$ d'où $\theta=-\dfrac{2\pi}3$
    Sous forme exponentielle, $z_2=2e^{-i\frac{2\pi}3}$
  3. $\dfrac{z_1}{z_2}=\dfrac{4-4i}{-1-i\sqrt3}=\dfrac{(4-4i)(-1+i\sqrt3)}4
  =(-1+\sqrt3)+i(1+\sqrt3)$
    et, sous forme exponentielle,
    \[\dfrac{z_1}{z_2}=\dfrac{4\sqrt2e^{-i\frac\pi4}}{2e^{-i\frac{2\pi}3}}
  =2\sqrt2e^{i\lp-\frac\pi4+\frac{2\pi}3\right)}
  =2\sqrt2e^{i\frac{5\pi}{12}}\]

  4. En identifiant les parties réelles des epxressions précédentes de $\dfrac{z_1}{z_2}$, on trouve que
    \[2\sqrt2\cos\dfrac{5\pi}{12}=-1+\sqrt3
  \iff\cos\dfrac{5\pi}{12}=\dfrac{-1+\sqrt3}{2\sqrt2}\]




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Voir aussi:
ccc