Devoir de maths corrigé, Polynômes et matrices

Maths expertes, terminale générale

Devoir de mathématiques, et corrigé, sur les matrices et factorisation des polynôme posé en maths expertes, terminale générale, année scolaire 2024/2025

Exercice 1: Factorisation et racines d'un polynôme complexe

On considère le polynôme $P(z)=z^3-(2+i)z^2+2(1+i)z-2i$
  1. Calculer $P(i)$ et en déduire une factorisation de $P$.
  2. Calculer toutes les racines de $P$.

Correction exercice 1


$P(z)=z^3-(2+i)z^2+2(1+i)z-2i$
  1. On a
    \[\begin{array}{ll}P(i)&=i^3-(2+i)i^2+2(1+i)i-2i\\ &=-i+(2+i)+2i-2-2i\\ &=0 \enar\]

    ce qui signifie que $i$ est une racine du polynôme $P$ et donc que celui-ci se factorise par $(z-i)$, c'est-à-dire
    \[P(z)=(z-i)Q(z)\]

    Le polynôme $Q$ est ici de degré au plus 2, et on peut le déterminer par identification ou avec une division euclidienne.

    Division euclidienne:
    \[\begin{array}{ll}z^3-(2+i)z^2+2(1+i)z-2i &\psline(-.1,.3)(-.1,-3.6) z-i\\ z^3-iz^2 &\psline(0,.4)(2,.4) z^2-2z+2 \\[.4em] \psline(0,.5)(2.5,.5) \hspace*{3.8em}-2z^2+2(1+i)z\\ \hspace*{3.8em}-2z^2+2iz\\[.4em] \psline(1.4,.5)(4.5,.5) \hspace*{10.2em}2z-2i\\ \hspace*{10.2em}2z-2i\\[.4em] \psline(4,.5)(5.6,.5) \hspace*{12.6em}0\enar\]

    ce qui nous donne donc la factorisation
    \[P(z)=(z-i)(z^2-2z+2)\]



    Identification: Comme le polynôme $Q$ recherché est de degré 2, il s'écrit sous la forme $Q(z)=az^2+bz+c$ et il reste à déterminer ses trois coefficients.
    On développe la factorisation recherchée:
    \[\begin{array}{ll}P(z)&=(z-i)(az^2+bz+c)\\ &=az^3+(b-ai)z^2+(c-bi)z-ci \enar\]

    et comme il s'agit toujours du même polynôme
    \[P(z)=z^3-(2+i)z^2+2(1+i)z-2i\]

    on identifie les coefficients
    \[\la\begin{array}{ll}a=1\\ b-ai=-(2+i)\\ c-bi=2(1+i)\\ -ci=-2i\enar\right.\]

    ce qui nous donne les coefficients:
    \[\la\begin{array}{ll} a&=1\\ b&=-2\\ c&=2 \enar\right.\]

    et on a donc trouvé la factorisation
    \[P(z)=(z-i)(z^2-2z+2)\]


  2. On cherche alors toutes les racines de $P$, c'est-à-dire les solutions de l'équation $P(z)=0$, soit, pour le produit nul,
    \[z-i=0\iff z=i\]

    soit
    \[z^2-2z+2=0\]

    Cette équation du second degré a pour discriminant $\Delta=-4<0$ et admet donc deux racines complexes conjuguées, $z_1=\dfrac{2-i\sqrt4}2=1-i$ et $z_2=\overline{z_1}=1+i$.

    En résumé, le polynôme $P$ admet trois racines $i$, $1-i$ et $1+i$.


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Exercice 2: Déterminant d'une matrice et théorème de Cayley-Hamilton

Soit la matrice $A=\lp\begin{array}{cc}1&2\\3&4\enar\rp$.
Pour tout nombre réel $x$, on pose $P(x)=\det\left( A - xI_2\rp$, où $I_2$ est la matrice identité d'ordre 2.
  1. Donner l'expression de $P(x)$.
  2. Pour un polynôme $T(x)=ax^2+bx+c$ on associe le polynôme matriciel $T(X)=aX^2+bX+cI_2$ pour toute matrice carrée $X$.
    Calculer $P(A)$.

Correction exercice 2


On a
\[\begin{array}{ll}A - xI_2&=\lp\begin{array}{cc}1&2\\3&4\enar\rp-x\lp\begin{array}{cc}1&0\\0&1\enar\rp\\[1.4em] &=\lp\begin{array}{cc}1-x&2\\3&4-x\enar\rp\enar\]

et donc
\[\begin{array}{ll}P(x)&=\det(A - xI_2)\\[.5em] &=(1-x)(4-x)-6\\[.5em] &=x^2-5x-2\enar\]


On calcule ensuite $P(A)$:
\[P(A)=A^2-5A-2I_2\]

avec
\[A^2=\lp\begin{array}{cc}1&2\\3&4\enar\rp\lp\begin{array}{cc}1&2\\3&4\enar\rp= \lp\begin{array}{cc}7&10\\15&22\enar\rp\]

d'où
\[P(A)=\lp\begin{array}{cc}7&10\\15&22\enar\rp-5\lp\begin{array}{cc}1&2\\3&4\enar\rp-2\lp\begin{array}{cc}1&0\\0&1\enar\rp \]

et on trouve finalemnt la matrice nulle:
\[P(A)=\lp\begin{array}{cc}0&0\\0&0\enar\rp\]



Remarque: le polynôme $P$ s'appelle le polynôme caractéristique de la matrice $A$, et la propriété $P(A)=0$ est le théorème de Cayley-Hamilton


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Exercice 3: Diagonalisation d'une matrice et limites de suites

On considère les matrices $A=\lp\begin{array}{cc}\dfrac13&0\\[1em]-\dfrac13&1\enar\rp$ et $P=\lp\begin{array}{cc}2&0\\1&1\enar\rp$.
  1. Montrer que $P$ est inversible et donner sa matrice inverse $P^{-1}$.
  2. Calculer la matrice $D=P^{-1}AP$.
  3. Calculer $D^2$, $D^3$ puis donner $D^n$ (sans justification supplémentaire).
  4. Donner l'expression de $A^n$ en fonction de $D$ et $P$.
  5. On note $A^\infty$ et $D^\infty$ les matrices limites des matrices $A^n$ et $D^n$, c'est-à-dire $A^\infty=\dsp\lim_{n\to+\infty}A^n$ et $D^\infty=\dsp\lim_{n\to+\infty}D^n$.
    Déterminer $A^\infty$.
  6. On définit les suites $(x_n)$ et $(y_n)$ par $x_0=1$ et $y_0=1$ puis par les relations de récurrence
    \[\la\begin{array}{ll}x_{n+1}&=\dfrac13x_n\\[.9em]y_{n+1}&=-\dfrac13x_n+y_n\enar\right.\]

    Déterminer les limites de ces deux suites.

Correction exercice 3


  1. On a $\det(P)=2\not=0$ et donc $P$ est bien inversible, d'inverse
    \[P^{-1}=\dfrac12\lp\begin{array}{cc}1&0\\-1&2\enar\rp\]


  2. On calcule les deux produits, successivement,
    \[\begin{array}{ll}D&=P^{-1}AP\\ &=\dfrac12\lp\begin{array}{cc}1&0\\-1&2\enar\right) \lp\begin{array}{cc}\dfrac13&0\\[1em]-\dfrac13&1\enar\right) P\\[2em] &=\dfrac12\lp\begin{array}{cc}\dfrac13&0\\[1em]-1&2\enar\rp\lp\begin{array}{cc}2&0\\1&1\enar\rp\\[2em] &=\dfrac12\lp\begin{array}{cc}\dfrac23&0\\[1em]0&2\enar\right) \enar\]

    et on trouve donc la matrice diagonale $D=\lp\begin{array}{cc}\dfrac13&0\\[1em]0&1\enar\rp$
  3. On calcule facilement que
    \[D^2=\lp\begin{array}{cc}\lp\dfrac13\rp^2&0\\[1em]0&1\enar\rp\]

    et
    \[D^3=\lp\begin{array}{cc}\lp\dfrac13\rp^3&0\\[1em]0&1\enar\rp\]

    qu'on généralise à
    \[D^n=\lp\begin{array}{cc}\lp\dfrac13\rp^n&0\\[1em]0&1\enar\rp\]


  4. On a la relation
    \[D=P^{-1}AP \iff PDP^{-1}=A\]

    et alors
    \[\begin{array}{ll}A^n&=\underbrace{A\,A\,A\,\dots\,A}_{n \text{termes}}\\[1.6em] &=PA\underbrace{P^{-1}P}_{=I_2}D\underbrace{P^{-1}P}_{=I_2}DP{-1}\dots\,\underbrace{P^{-1}P}_{=I_2}DP^{-1}\\[1.6em] &=PD^nP^{-1} \enar\]

  5. Comme $-1<\dfrac12<1$, on a $\dsp\lim_{n\to+\infty}\lp\dfrac12\rp^n=0$ et donc
    \[D^\infty=\lp\begin{array}{cc}0&0\\0&1\enar\rp\]

    et alors, en passant à la limite dans les produits
    \[\begin{array}{ll}A^\infty&=PD^\infty P^{-1}\\ &=\lp\begin{array}{cc}2&0\\1&1\enar\rp\lp\begin{array}{cc}0&0\\0&1\enar\rp P^{-1}\\[1.2em] &=\lp\begin{array}{cc}0&0\\0&1\enar\rp\dfrac12\lp\begin{array}{cc}1&0\\-1&2\enar\rp\\[1.2em] &=\dfrac12\lp\begin{array}{cc}0&0\\-1&2\enar\rp\\[1.2em] &=\lp\begin{array}{cc}0&0\\-\dfrac12&1\enar\right) \enar\]


  6. On pose $U_n=\lp\begin{array}{c}x_n\\y_n\enar\rp$, et alors on a $U_0=\lp\begin{array}{c}1\\1\enar\rp$ et les relations de récurrence s'écrivent matriciellement
    \[U_{n+1}=AU_n\]

    Il s'agit donc d'une suite géométrique, et on a directement pour tout entier $n$,
    \[U_n=A^nU_0\]

    et, avec les calculs précédents, on trouve la limite
    \[\begin{array}{ll}\dsp\lim_{n\to+\infty}U_n&=D^\infty U_0\\ &=\lp\begin{array}{cc}0&0\\-\dfrac12&1\enar\rp\lp\begin{array}{c}1\\1\enar\rp\\[1.5em] &=\lp\begin{array}{c}0\\\dfrac12\enar\right) \enar\]

    c'est-à-dire, en revenant aux suites de l'énoncé,
    \[\begin{array}{ll}\dsp\lim_{n\to+\infty}x_n=0\\\dsp\lim_{n\to+\infty}y_n=\dfrac12\enar\]




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