Résolution d'une équation matricielle

Exercice corrigé - Maths expertes, terminale générale

Énoncé

Soit la matrice $C=\lp\begin{array}{ccc}-5&2&8\\4&-3&-8\\-4&2&7\enar\rp$.
  1. Calculer $C^2$. Que peut-on alors dire de la matrice $C$ ?
  2. Déterminer la matrice $X$ telle que $CX=\lp\begin{array}{cc}1&1\\3&2\\4&5\enar\rp$



Correction

Correction

Soit la matrice
  1. $C^2=\lp\begin{array}{ccc}-5&2&8\\4&-3&-8\\-4&2&7\enar\right) \lp\begin{array}{ccc}-5&2&8\\4&-3&-8\\-4&2&7\enar\right) =\lp\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\enar\rp=I_3$.
    On en déduit que la matrice $C$ est inversible avec $C^{-1}=C$.
  2. En multipliant à gauche par $C$ on obtient $CCX=C\lp\begin{array}{cc}1&1\\3&2\\4&5\enar\right) =\lp\begin{array}{cc}33&39\\-37&-42\\30&35\enar\rp$ qui est aussi la matrice $X$ recherchée car $C^2X=I_3X=X$


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