Source Latex: Cours de mathématiques, Matrices

Matrices

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Description

Exercices de mathématiques: matrices, opérations et propriétés algébriques, poduit matriciel, inverse et résolution de systèmes

Niveau

Terminale générale, maths expertes

Mots clé

exercices de mathématiques, matrice, système d'équations, produit matriciel

Quelques devoirs

Devoir corrigé

Matrices et nombres complexes

sur les matrices, calcul matriciel et les nombres complexes: géométrie, formes algébriques et exponentielles.

Voir aussi:

Documentation sur LaTeX

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\makeatother
% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}
\def\No{\N_0}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
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\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}

\renewcommand{\Re}{\mathcal{R}e}
\renewcommand{\Im}{\mathcal{I}\!m}

\def\epsi{\varepsilon}
\def\lbd{\lambda}
\def\tht{\theta}

\def\Cf{\mathcal{C}_f}

\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}

\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}

\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}

\newcounter{nex}%[section]
\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}

\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
  \nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}




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\textwidth=18.8cm
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\newcounter{ntheo}
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  \settowidth{\ltheo}{Théorème }%\arabic{ntheo}}
  \noindent
  \paragraph{Théorème}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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  \stepcounter{ntheo}
}

\newcounter{nprop}
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  \paragraph{Propriété}% \arabic{ntheo}}
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  \stepcounter{nprop}
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  \paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
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\newcounter{ndef}
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  \paragraph{Définition}% \arabic{ndef}}
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%\newenvironment{proof}{
%  \noindent\textsc{Preuve.~}}{\hfill$\square$\bigbreak} 
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  \vspd\noindent
  \ul{Démonstration:} #1 
  \hfill$\square$
}

\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
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% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Calcul matriciel - Exercices}
\author{Y. Morel}
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\lfoot{Y. Morel - \href{https://xymaths.fr/Lycee/Terminale-maths-expertes/}{ xymaths.fr - Maths expertes}}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

\vspace*{-1cm}

%\setlength{\extrarowheight}{8pt}
\hfill{\large \bf \TITLE}
\hfill\bgmp{5cm} Mathématiques expertes\\Terminale générale\enmp



\noindent\bgmp[t]{8.4cm}\vspace*{-.7cm}\bgex
\textbf{Carrés magiques.} \\
Compléter le tableau suivant avec les nombres de 1
à 9 de telle manière que la somme des nombres sur chaque ligne, sur
chaque colonne et sur chaque diagonale soit égale à 15. 

\[\begin{tabular}{|c|c|c|}\hline
  2 & \bgmp{1cm}{\ \vspd\\ \ }\enmp& \\\hline
  \bgmp{1cm}{\ \vspd\\ \ }\enmp&5& \\\hline
  4 & &\bgmp{1cm}{\ \vspd\\ \ }\enmp \\\hline
\end{tabular}\]
\enex
\enmp\hfill\psline(-.4,0)(-.4,-5)
\bgmp[t]{9.2cm}
On peut de même rechercher un carré magique d'ordre 4, les sommes
étant cette fois de 34: 
\[\begin{tabular}{|c|c|c|c|}\hline
  16 & 3 &&\bgmp{0.8cm}{\ \vspd\\ \ }\enmp \\\hline
  \bgmp{0.8cm}{\ \vspd\\ \ }\enmp&10& &\\\hline
   & &\bgmp{0.8cm}{\ \vspd\\ \ }\enmp  &\\\hline
  4 & \bgmp{0.8cm}{\ \vspd\\ \ }\enmp&14 &1 \\\hline  
\end{tabular}\]
{\it (la somme des quatre chiffres figurant dans les quatre cases
  centrales ou encore dans les quatre cases d'angle vaut aussi 34) }
\enmp


\bgex \textbf{Un sudoku}
\[\def\arraystretch{1.6}
\begin{tabular}{|*9{p{.5cm}|}}\hline
  \psline[linewidth=2.2pt](2.6,.6)(2.6,-6.9)
  \psline[linewidth=2pt](5.4,.6)(5.4,-6.9)
  \psline[linewidth=2pt](-.2,-1.9)(8.2,-1.9)
  \psline[linewidth=2pt](-.2,-4.4)(8.2,-4.4)
    & 4 &   & 5 &   &   &   &   &   \\\hline
    &   & 3 & 4 &   & 7 &   &   & 2 \\\hline
    &   & 2 &   & 6 & 8 & 1 & 7 &   \\\hline
    & 2 & 9 &   &   &   &   & 6 & 5 \\\hline
    &   & 8 &   &   &   & 4 &   &   \\\hline
  1 & 6 &   &   &   &   & 7 & 2 &   \\\hline
    & 9 & 4 & 7 & 8 &   & 6 &   &   \\\hline
  8 &   &   & 6 &   & 5 & 2 &   &   \\\hline
    &   &   &   &   & 2 &   & 8 &   \\\hline
\end{tabular}
\qquad
\begin{tabular}{|*9{p{.5cm}|}}\hline
  \psline[linewidth=2.2pt](2.6,.6)(2.6,-6.9)
  \psline[linewidth=2pt](5.4,.6)(5.4,-6.9)
  \psline[linewidth=2pt](-.2,-1.9)(8.2,-1.9)
  \psline[linewidth=2pt](-.2,-4.4)(8.2,-4.4)
  5 & 6 &   & 7 &   &   & 9 &   &   \\\hline
    &   & 4 & 8 &   &   &   & 5 &   \\\hline
    & 1 & 2 &   & 6 &   &   &   & 8 \\\hline
  4 & 5 &   & 9 &   & 8 & 3 &   &   \\\hline
    &   & 1 & 3 &   &   & 5 &   &   \\\hline
    &   &   & 6 &   & 1 &   & 9 & 4 \\\hline
  8 &   &   &   & 7 &   & 2 & 3 &   \\\hline
    & 7 &   &   &   & 5 & 6 &   &   \\\hline
    &   & 5 &   &   & 3 &   &   & 1 \\\hline
\end{tabular}
\]
\enex


\bgex \textbf{Systèmes d'équations}\\[.4em]
Résoudre les systèmes\vspace*{-2.6em}
\[\hspace*{1cm}\la\bgar{rcrcl}
3x&+&2y&=&7\\
-x&+&y&=&1
\enar\right.
\qquad
\la\bgar{rcrcrcr}
3x&-&2y&+&z&=&-6\\
&&2y&-&3z&=&16\\
-3x&+&3y&+&2z&=&5
\enar\right.
\]
\enex


\bgex \'Ecrire explicitement les matrices: 
\bgen[a)]
\item $A$ la matrice de dimension $3\tm4$ définie par 
$A_{i,j}=i+j$.
\item $B$ la matrice de dimension $5\tm3$ définie par 
  $b_{i,j}=0$ si $i\geqslant j$
  et $b_{i,j}=ij$ si $i<j$
\item $C$ la matrice de dimension $5\tm3$ définie par 
  $c_{i,i}=0$ 
  et $c_{i,j}=\max(i,j)$ si $i\not=j$
\enen
\enex



\bgex 
\'Ecrire les matrices transposées de
$M=\lp\bgar{cc} 4 & -2 \\ 3 & 5 \enar\rp$, \quad 
$N=\lp\bgar{cc} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \enar\rp$, \\[-1em]
$P=\lp\bgar{cc}1 & -2\\ 3 & -4\enar\rp$, \quad 
$Q=\lp\!\!\bgar{c}-3\\ 2\\ 1 \enar\!\!\rp$, \quad 
et $R=\lp\bgar{cccc}1 & -2& 3 & -4\enar\rp$ 
\enex


\bgex a) Calculer $A+B$ avec $A=\lp\bgar{cc} 6&-1\\-1&0\\-4&5\enar\rp$ 
et 
$B=\lp\bgar{cc} 1&-3\\0&3\\2&10\enar\rp$

\medskip
b) Calculer $C=2A-B$ avec
$A=\lp\bgar{ccc} 1&-1&3\\-1&0&3\\-4&5&1\enar\rp$ 
et 
$B=\lp\bgar{ccc} 2&-1&4\\-1&3&2\\2&5&6\enar\rp$
\enex

\bgex \!\!Soit $A\!=\!\lp\bgar{cc} 1&-3\\-1&10\enar\rp$, et  
$B\!=\!\lp\bgar{cc} 6&-5\\7&-12\enar\rp$. 
Déterminer la matrice $C$ telle que $A+2C=3B$.
\enex

\bgex Soit les vecteurs de l'espace 
$\vec{u}=\lp\bgar{c} 1\\0\\-3\enar\rp$ et
$\vec{v}=\lp\bgar{c} 7\\-2\\1\enar\rp$. \\[.3em]
Déterminer les coordonnées du vecteur $\vec{w}=2\vec{v}-3\vec{u}$.
\enex


\bgex
Soit $A=\lp\bgar{ccc} 5&3&-1\\4&2&3 \enar\rp$ et 
$B=\lp\bgar{ccc} -2&0&4\\1&2&3\\4&5&6 \enar\rp$. 

\vspd
Quelle est la dimension de la matrice produit $AB$ ? 
Calculer la matrice produit $C=AB$. 
\enex

\bgex
Soit $A=\lp\bgar{cc} 1&2\\1&2\enar\rp$ et 
$B=\lp\bgar{cc} -2&0\\1&-1\enar\rp$. 

\vspd
Quelles sont les dimensions des matrices produits $AB$ et $BA$ ? 
Calculer ces deux matrices produits. 
\enex

\bgex Soit 
$A=\lp\bgar{cc} 2&3\\1&0 \enar\rp$ et 
$B=\lp\bgar{cc} 1&1\\-3&2 \enar\rp$. 

Déterminer les dimensions des matrices produits $A\,B$ et $B\,A$, puis
les calculer.  
\enex

\bgex Soit 
$A=\lp\bgar{cc} 2&-6\\3&-9 \enar\rp$ et 
$B=\lp\bgar{cc} 9&-3\\3&-1 \enar\rp$. 
Calculer les produits $AB$ et $BA$. 
\enex


\bgex
$A=\lp\bgar{cc} 2&-3\\4&-5 \enar\rp$. 
Déterminer les dimensions des matrices $A^2$ et $A^3$, puis les calculer. 
\enex

\bgex
On considère les matrices $A=\lp\bgar{ccc}1&0&0\\0&1&1\\3&1&1\enar\rp$, 
$B=\lp\bgar{ccc}1&1&1\\0&1&0\\1&0&0\enar\rp$ 
et 
$C=\lp\bgar{ccc}1&1&1\\1&2&1\\0&-1&-1\enar\rp$. \\
Calculer $AB$ et $AC$. En déduire une matrice $M$ telle que $AM=0_3$, 
où la matrice $0_3$ est la matrice nulle, ne contenant que des 0. 
\enex

\bgex Soit $a$ un réel, 
$A=\lp\bgar{cc} a&a\\a&a \enar\rp$, et 
$N=\lp\bgar{cc} 1&1\\1&1 \enar\rp$.
\vspace{-.5em}
\bgen[a)]
\item Calculer $NA$. 
\item En déduire que $N^2=2N$, puis exprimer $N^3$, $N^4$ et $N^5$ en fonction de $N$. 
\item Quelle conjecture peut-on alors faire au sujet de $N^p$, pour tout entier $p$ ? Démontrer cette conjecture. 
\enen
\enex

\bgex
Soit $M=\lp\bgar{cc} -1&1\\-5&5 \enar\rp$.\\
Montrer que $M^2=4M$. En déduire $M^3$ puis $M^4$, puis $M^n$ pour tout entier $n\geqslant1$. 
\enex


\bgex
Soit $A=\lp\bgar{cc} 2&5\\-4&1\enar\rp$. Calculer les produits
$A\,I_2$ et $I_2\,A$.
\enex

\bgex
On considère les matrices 
$U=\dfrac13\lp\bgar{ccc}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\enar\rp$ et $V=I_3-U$.

\medskip
Calculer les matrices suivantes:
a) $U^2$ \qquad b) $V^2$ \qquad c) $UV$ \qquad d) $VU$
\enex



\bgex Soit $A=\lp\bgar{cc} 2 & 5\\ 3& 8\enar\rp$. 
Vérifier que $B=\lp\bgar{cc}8&-5\\-3&2\enar\rp$ est l'inverse de la matrice $A$. 
\enex

\clearpage
\bgex
Soit $A=\lp\bgar{ccc}1&2&3\\0&1&-1\\0&0&1\enar\rp$  et $B=\lp\bgar{ccc}1&-2&-5\\0&1&1\\0&0&1\enar\rp$. 

\bgen[a)]
\item Montrer que $B$ est l'inverse de $A$. 
\item En déduire les solutions de l'équation $XA=\lp\bgar{ccc}1&1&2\\-2&1&3\enar\rp$
\enen
\enex

\bgex
On considère la matrice $A=\lp\bgar{cc}4&1\\3&2\enar\rp$.

Calculer $6A-A^2$. En déduire que la matrice $A$ est inversible et donner sa matrice inverse. 
\enex


\bgex
On considère la matrice $A=\lp\bgar{ccc}-1&1&1\\1&-1&1\\1&1&-1\enar\rp$.\\
Vérifier que $A^2=2I_3-A$, et en déduire que la matrice $A$ est inversible et donner sa matrice inverse. 
\enex

\bgex
Soit $A=\lp\begin{array}{ccc}0&1&-1\\-1&2&-1\\1&-1&2\enar\rp$.
Calculer $A^2-3A$.\\
En déduire que $A$ est inversible, et calculer $A^{-1}$.
\enex

\bgex
\bgen[a)]
\item Résoudre le système d'équations:
  $\la\bgar{rcrcl}2x&+&y&=&7\\-x&+&y&=&1\enar\right.$

\item \'Ecrire ce système sous la forme matricielle 
  $AX=B$ avec $X=\lp\bgar{c}x\\y\enar\rp$ et $A$ et $B$ deux matrices à préciser. 
  
\item Pour $a$ et $b$ deux nombres quelconques, résoudre le système d'équations:
  $\la\bgar{rcrcl}2x&+&y&=&a\\-x&+&y&=&b\enar\right.$.\\
  Exprimer les solutions $x$ et $y$ en fonction de $a$ et $b$.

  On écrira finalement la solution $X=\lp\bgar{c}x\\y\enar\rp$ sous la forme matricielle $X=A'B$ avec $B=\lp\bgar{c}a\\b\enar\rp$, en précisant le matrice $A'$.

  Quel lien y-a-t-il entre les matrices $A$ et $A'$ ?
\enen
\enex


\bgex
Soit $A=\lp\bgar{cc}-1&0\\2&3\enar\rp$, $B=\lp\bgar{cc}4&5\\2&3\enar\rp$, 
$C=\lp\bgar{cc}2&-6\\3&-9\enar\rp$ et $D=\lp\bgar{cc}-0,5&4\\0,25&2\enar\rp$. \\
Déterminer si ces matrices sont inversibles, et calculer le cas échéant leur inverse. 
\enex



\bgex
Soit $A=\lp\bgar{cc}5&2\\-3&-1\enar\rp$ et $B=\lp\bgar{cc}4&3\\2&1\enar\rp$.\\
Montrer que $A$ est inversible et calculer son inverse.\\
Déterminer alors une matrice $M$ telle que $AM=B$. 
\enex



\bgex
Soit le système $\la\bgar{rcrcl}x&+&2y&=&7\\x&-&3y&=&-13\enar\right.$

\bgen[a)]
\item Résoudre ce système. 
\item \'Ecrire ce système sous forme matricielle, puis le résoudre en calculant une matrice inverse.
\enen
\enex



\bgex Soit $A=\lp\bgar{cc} 2 & 3 \\ -1 & 4 \enar\rp$,
$B\lp\bgar{c}8\\7\enar\rp$, et $X=\lp\bgar{c} x \\ y \enar\rp$.\\[.3em]
Détailler le produit $AX$ et l'équation matricielle $AX=B$. 
Resoudre ce système.
\enex


\bgex
Ecrire sous forme matricielle les systèmes, et les résoudre: 
\[ 
\la\bgar{rcrcr}3x &+& 2y &=&9\\-x &+ &3y &= &8\enar\right.\hspace{1cm}
\la\bgar{rcrcr}4x &- &3y &= &6\\-2x &+&9y &= &12\enar\right.\hspace{1cm}
\la\bgar{rcrcr}5x &+& 2y &=&-4\\-2x &+&3y &= &13\enar\right.
\]
\[
\la\bgar{ccccccr} 
2x &+ &3y &+ &z  &= &9\\ 
x  &- &2y &+ &4z &= &-6\\
   &  &x  &- & 2z &= &6
\enar\right.
\hspace{.6cm}
\la\bgar{rcrcrcr}
3x &+& 2y &+& z   &=& 10\\
-x &+& 5y &+& 3z  &=& 18\\
x  &-&  y &-&  z  &=& -4
\enar\right.
\hspace{.6cm}
\la\bgar{rcrcrcr}
2x &+& y &-& 2z   &=& 1\\
2x &-& 3y &+& z  &=& -1\\
-x &+&  y &-&  z  &=& -5
\enar\right.
\]
\enex






\bgex
On considère la matrice $A=\lp\bgar{ccc}0&1&-1\\-3&4&-3\\-1&1&0\enar\rp$. 

Déterminer des réels $a$ et $b$ tels que $A^2=aA+bI_3$.

En déduire que $A$ est inversible et donner son inverse. 
\enex


\bgex
On considère les matrices $A=\lp\bgar{cc}4&-6\\1&-1\enar\rp$ et 
$P=\lp\bgar{cc}3&2\\1&1\enar\rp$
\bgen
\item Montrer que $P$ est inversible et donner son inverse.
\item Montrer que la matrice $P^{-1}AP$ est une matrice diagonale que l'on notera $D$.
\item Calculer la matrice $D^n$ pour tout entier naturel non nul $n$.
\item Déduire des questions précédentes une expression de $A^n$ en fonction de $n$. 

\item On considère les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ telles que $u_0=1$ et $v_0=2$ et,
  pour $n\in\N$, 
  $\la\bgar{rcrcr}u_{n+1}&=&4u_n&-&6v_n\\v_{n+1}&=&u_n&+&v_n\enar\right.$
  \bgen[a)]
  \item On pose $X_n=\lp\bgar{c}u_n\\v_n\enar\rp$. 
    Exprimer sous forme matricelle $X_{n+1}$ en fonction de $X_n$. 

  \item Quelle est la nature de la suite $(X_n)$ ? en déduire une expression de $X_n$ en fonction de $n$.     
  \enen
\enen
\enex

\bgex \textbf{Des complexes sous forme matricielle}\\
\bgen
\item On considère la matrice $i=\lp\bgar{cc}0&-1\\1&0\enar\rp$.
  Calculer $i^2$ et $i^{-1}$. 

\item On note $\C$ l'ensemble des matrice de la forme $\lp\bgar{cc}a&-b\\b&a\enar\rp$, où $a$ et $b$ sont des réels.

  Vérifier que $i$ et $I_2$ appartiennent à $\C$, et que toute matrice de $\C$ peut s'écrire sous la forme $aI_2+bi$, avec $a$ et $b$ réels. 

\item Montrer que toute matrice non nulle de $\C$ est inversible et déterminer son inverse.  
\enen
\enex


\bgex \textbf{Diagonalisation d'une matrice}\\
On considère la matrice $A=\lp\bgar{cc}1&2\\-1&4\enar\rp$.
\bgen
\item Pour tout réel $x$, on pose $P(x)=\det(A-xI_2)$.\\
  Calculer $P(x)$ et déterminer ses racines $x_1$ et $x_2$. 

  Que peut-on dire des matrices $A-x_1I_2$ et $A-x_2I_2$ ?

\item Déterminer un vecteur $X_1$ solution de $(A-x_1I_2)X=0$
  et un vceteur $X_2$ solution de $(A-x_2I_2)X=0$. 
  
\item On forme alors la matrice $P$ dont la première colonne est $X_1$ et la deucième colonne est $X_2$.

  \bgen[a)]
  \item Montrer que la matrice $P$ est inversible et donner son inverse. 
  \item Calculer la matrice $D=P^{-1}AP$.
  \enen

\item Calculer la matrice $D^n$ pour tout entier $n$, et en déduire une expression de $A^n$. 
  
\enen
\enex

\label{LastPage}
\end{document}

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