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    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Exercices sur les matrices},
    pdftitle={Matrices - Exercices},
    pdfkeywords={matrice, exercices, Mathématiques, maths expertes, terminale générale}
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\makeatletter
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\renewcommand*\l@subsection{\@dottedtocline{2}{1.5em}{1.3em}}
\makeatother
% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}
\def\No{\N_0}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}

\renewcommand{\Re}{\mathcal{R}e}
\renewcommand{\Im}{\mathcal{I}\!m}

\def\epsi{\varepsilon}
\def\lbd{\lambda}
\def\tht{\theta}

\def\Cf{\mathcal{C}_f}

\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}

\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}

\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}

\newcounter{nex}%[section]
\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}

\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
  \nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}




\headheight=0cm
\textheight=27.4cm
\topmargin=-1.8cm
\footskip=.8cm
\textwidth=18.8cm
\oddsidemargin=-1.5cm

\newcounter{ntheo}
\setcounter{ntheo}{1}
\newlength{\ltheo}
\nwc{\bgth}[1]{
  \settowidth{\ltheo}{Théorème }%\arabic{ntheo}}
  \noindent
  \paragraph{Théorème}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp\bigskip
  \stepcounter{ntheo}
}

\newcounter{nprop}
\setcounter{nprop}{1}
\newlength{\lprop}
\nwc{\bgprop}[1]{
  \settowidth{\lprop}{Propriété \arabic{nprop}}
  \noindent
  \paragraph{Propriété}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\lprop-0.5em}{\it #1}\enmp\bigskip
  \stepcounter{nprop}
}

\nwc{\bgcorol}[1]{
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  \noindent
  \paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp\bigskip
}

\newcounter{ndef}
\setcounter{ndef}{1}
\newlength{\ldef}
\nwc{\bgdef}[1]{
  \settowidth{\ldef}{Définition }% \arabic{ndef}}
  \noindent
  \paragraph{Définition}% \arabic{ndef}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ldef-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{ntheo}
}

%\newenvironment{proof}{
%  \noindent\textsc{Preuve.~}}{\hfill$\square$\bigbreak} 
\nwc{\bgproof}[1]{
  \vspd\noindent
  \ul{Démonstration:} #1 
  \hfill$\square$
}

\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}

% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Calcul matriciel - Exercices}
\author{Y. Morel}
\date{}

\usepackage{fancyhdr}
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\lhead{}\chead{}\rhead{}
\lfoot{Y. Morel - \href{https://xymaths.fr/Lycee/Terminale-maths-expertes/}{ xymaths.fr - Maths expertes}}
\rfoot{\TITLE\ - Maths expertes - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

\vspace*{-1cm}

%\setlength{\extrarowheight}{8pt}
\hfill{\large \bf \TITLE}
\hfill\bgmp{5cm} Mathématiques expertes\\Terminale générale\enmp



\noindent\bgmp[t]{8.4cm}\vspace*{-.7cm}\bgex
\textbf{Carrés magiques.} \\
Compléter le tableau suivant avec les nombres de 1
à 9 de telle manière que la somme des nombres sur chaque ligne, sur
chaque colonne et sur chaque diagonale soit égale à 15. 

\[\begin{tabular}{|c|c|c|}\hline
  2 & \bgmp{1cm}{\ \vspd\\ \ }\enmp& \\\hline
  \bgmp{1cm}{\ \vspd\\ \ }\enmp&5& \\\hline
  4 & &\bgmp{1cm}{\ \vspd\\ \ }\enmp \\\hline
\end{tabular}\]
\enex
\enmp\hfill\psline(-.4,0)(-.4,-5)
\bgmp[t]{9.2cm}
On peut de même rechercher un carré magique d'ordre 4, les sommes
étant cette fois de 34: 
\[\begin{tabular}{|c|c|c|c|}\hline
  16 & 3 &&\bgmp{0.8cm}{\ \vspd\\ \ }\enmp \\\hline
  \bgmp{0.8cm}{\ \vspd\\ \ }\enmp&10& &\\\hline
   & &\bgmp{0.8cm}{\ \vspd\\ \ }\enmp  &\\\hline
  4 & \bgmp{0.8cm}{\ \vspd\\ \ }\enmp&14 &1 \\\hline  
\end{tabular}\]
{\it (la somme des quatre chiffres figurant dans les quatre cases
  centrales ou encore dans les quatre cases d'angle vaut aussi 34) }
\enmp


\bgex \textbf{Un sudoku}
\[\def\arraystretch{1.6}
\begin{tabular}{|*9{p{.5cm}|}}\hline
  \psline[linewidth=2.2pt](2.6,.6)(2.6,-6.9)
  \psline[linewidth=2pt](5.4,.6)(5.4,-6.9)
  \psline[linewidth=2pt](-.2,-1.9)(8.2,-1.9)
  \psline[linewidth=2pt](-.2,-4.4)(8.2,-4.4)
    & 4 &   & 5 &   &   &   &   &   \\\hline
    &   & 3 & 4 &   & 7 &   &   & 2 \\\hline
    &   & 2 &   & 6 & 8 & 1 & 7 &   \\\hline
    & 2 & 9 &   &   &   &   & 6 & 5 \\\hline
    &   & 8 &   &   &   & 4 &   &   \\\hline
  1 & 6 &   &   &   &   & 7 & 2 &   \\\hline
    & 9 & 4 & 7 & 8 &   & 6 &   &   \\\hline
  8 &   &   & 6 &   & 5 & 2 &   &   \\\hline
    &   &   &   &   & 2 &   & 8 &   \\\hline
\end{tabular}
\qquad
\begin{tabular}{|*9{p{.5cm}|}}\hline
  \psline[linewidth=2.2pt](2.6,.6)(2.6,-6.9)
  \psline[linewidth=2pt](5.4,.6)(5.4,-6.9)
  \psline[linewidth=2pt](-.2,-1.9)(8.2,-1.9)
  \psline[linewidth=2pt](-.2,-4.4)(8.2,-4.4)
  5 & 6 &   & 7 &   &   & 9 &   &   \\\hline
    &   & 4 & 8 &   &   &   & 5 &   \\\hline
    & 1 & 2 &   & 6 &   &   &   & 8 \\\hline
  4 & 5 &   & 9 &   & 8 & 3 &   &   \\\hline
    &   & 1 & 3 &   &   & 5 &   &   \\\hline
    &   &   & 6 &   & 1 &   & 9 & 4 \\\hline
  8 &   &   &   & 7 &   & 2 & 3 &   \\\hline
    & 7 &   &   &   & 5 & 6 &   &   \\\hline
    &   & 5 &   &   & 3 &   &   & 1 \\\hline
\end{tabular}
\]
\enex


\bgex \textbf{Systèmes d'équations}\\[.4em]
Résoudre les systèmes\vspace*{-2.6em}
\[\hspace*{1cm}\la\bgar{rcrcl}
3x&+&2y&=&7\\
-x&+&y&=&1
\enar\right.
\qquad
\la\bgar{rcrcrcr}
3x&-&2y&+&z&=&-6\\
&&2y&-&3z&=&16\\
-3x&+&3y&+&2z&=&5
\enar\right.
\]
\enex


\bgex \'Ecrire explicitement les matrices: 
\bgen[a)]
\item $A$ la matrice de dimension $3\tm4$ définie par 
$A_{i,j}=i+j$.
\item $B$ la matrice de dimension $5\tm3$ définie par 
  $b_{i,j}=0$ si $i\geqslant j$
  et $b_{i,j}=ij$ si $i<j$
\item $C$ la matrice de dimension $5\tm3$ définie par 
  $c_{i,i}=0$ 
  et $c_{i,j}=\max(i,j)$ si $i\not=j$
\enen
\enex



\bgex 
\'Ecrire les matrices transposées de
$M=\lp\bgar{cc} 4 & -2 \\ 3 & 5 \enar\rp$, \quad 
$N=\lp\bgar{cc} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \enar\rp$, \\[-1em]
$P=\lp\bgar{cc}1 & -2\\ 3 & -4\enar\rp$, \quad 
$Q=\lp\!\!\bgar{c}-3\\ 2\\ 1 \enar\!\!\rp$, \quad 
et $R=\lp\bgar{cccc}1 & -2& 3 & -4\enar\rp$ 
\enex


\bgex a) Calculer $A+B$ avec $A=\lp\bgar{cc} 6&-1\\-1&0\\-4&5\enar\rp$ 
et 
$B=\lp\bgar{cc} 1&-3\\0&3\\2&10\enar\rp$

\medskip
b) Calculer $C=2A-B$ avec
$A=\lp\bgar{ccc} 1&-1&3\\-1&0&3\\-4&5&1\enar\rp$ 
et 
$B=\lp\bgar{ccc} 2&-1&4\\-1&3&2\\2&5&6\enar\rp$
\enex

\bgex \!\!Soit $A\!=\!\lp\bgar{cc} 1&-3\\-1&10\enar\rp$, et  
$B\!=\!\lp\bgar{cc} 6&-5\\7&-12\enar\rp$. 
Déterminer la matrice $C$ telle que $A+2C=3B$.
\enex

\bgex Soit les vecteurs de l'espace 
$\vec{u}=\lp\bgar{c} 1\\0\\-3\enar\rp$ et
$\vec{v}=\lp\bgar{c} 7\\-2\\1\enar\rp$. \\[.3em]
Déterminer les coordonnées du vecteur $\vec{w}=2\vec{v}-3\vec{u}$.
\enex


\bgex
Soit $A=\lp\bgar{ccc} 5&3&-1\\4&2&3 \enar\rp$ et 
$B=\lp\bgar{ccc} -2&0&4\\1&2&3\\4&5&6 \enar\rp$. 

\vspd
Quelle est la dimension de la matrice produit $AB$ ? 
Calculer la matrice produit $C=AB$. 
\enex

\bgex
Soit $A=\lp\bgar{cc} 1&2\\1&2\enar\rp$ et 
$B=\lp\bgar{cc} -2&0\\1&-1\enar\rp$. 

\vspd
Quelles sont les dimensions des matrices produits $AB$ et $BA$ ? 
Calculer ces deux matrices produits. 
\enex

\bgex Soit 
$A=\lp\bgar{cc} 2&3\\1&0 \enar\rp$ et 
$B=\lp\bgar{cc} 1&1\\-3&2 \enar\rp$. 

Déterminer les dimensions des matrices produits $A\,B$ et $B\,A$, puis
les calculer.  
\enex

\bgex Soit 
$A=\lp\bgar{cc} 2&-6\\3&-9 \enar\rp$ et 
$B=\lp\bgar{cc} 9&-3\\3&-1 \enar\rp$. 
Calculer les produits $AB$ et $BA$. 
\enex


\bgex
$A=\lp\bgar{cc} 2&-3\\4&-5 \enar\rp$. 
Déterminer les dimensions des matrices $A^2$ et $A^3$, puis les calculer. 
\enex

\bgex
On considère les matrices $A=\lp\bgar{ccc}1&0&0\\0&1&1\\3&1&1\enar\rp$, 
$B=\lp\bgar{ccc}1&1&1\\0&1&0\\1&0&0\enar\rp$ 
et 
$C=\lp\bgar{ccc}1&1&1\\1&2&1\\0&-1&-1\enar\rp$. \\
Calculer $AB$ et $AC$. En déduire une matrice $M$, non nulle, telle que $AM=0_3$, 
où la matrice $0_3$ est la matrice nulle, ne contenant que des 0. 
\enex

\bgex Soit $a$ un réel, 
$A=\lp\bgar{cc} a&a\\a&a \enar\rp$, et 
$N=\lp\bgar{cc} 1&1\\1&1 \enar\rp$.
\vspace{-.5em}
\bgen[a)]
\item Calculer $NA$. 
\item En déduire que $N^2=2N$, puis exprimer $N^3$, $N^4$ et $N^5$ en fonction de $N$. 
\item Quelle conjecture peut-on alors faire au sujet de $N^p$, pour tout entier $p\geqslant1$ ? Démontrer cette conjecture. 
\enen
\enex

\bgex
Soit $M=\lp\bgar{cc} -1&1\\-5&5 \enar\rp$.\\
Montrer que $M^2=4M$. En déduire $M^3$ puis $M^4$, puis $M^n$ pour tout entier $n\geqslant1$. 
\enex


\bgex
Soit $A=\lp\bgar{cc} 2&5\\-4&1\enar\rp$. Calculer les produits
$A\,I_2$ et $I_2\,A$.
\enex

\bgex
On considère les matrices 
$U=\dfrac13\lp\bgar{ccc}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\enar\rp$ et $V=I_3-U$.

\medskip
Calculer les matrices suivantes:
a) $U^2$ \qquad b) $V^2$ \qquad c) $UV$ \qquad d) $VU$
\enex



\bgex Soit $A=\lp\bgar{cc} 2 & 5\\ 3& 8\enar\rp$. 
Vérifier que $B=\lp\bgar{cc}8&-5\\-3&2\enar\rp$ est l'inverse de la matrice $A$. 
\enex

\clearpage
\bgex
Soit $A=\lp\bgar{ccc}1&2&3\\0&1&-1\\0&0&1\enar\rp$  et $B=\lp\bgar{ccc}1&-2&-5\\0&1&1\\0&0&1\enar\rp$. 

\bgen[a)]
\item Montrer que $B$ est l'inverse de $A$. 
\item En déduire les solutions de l'équation $XA=\lp\bgar{ccc}1&1&2\\-2&1&3\enar\rp$
\enen
\enex

\bgex
On considère la matrice $A=\lp\bgar{cc}4&1\\3&2\enar\rp$.

Calculer $6A-A^2$. En déduire que la matrice $A$ est inversible et donner sa matrice inverse. 
\enex


\bgex
On considère la matrice $A=\lp\bgar{ccc}-1&1&1\\1&-1&1\\1&1&-1\enar\rp$.\\
Vérifier que $A^2=2I_3-A$, et en déduire que la matrice $A$ est inversible et donner sa matrice inverse. 
\enex

\bgex
Soit $A=\lp\begin{array}{ccc}0&1&-1\\-1&2&-1\\1&-1&2\enar\rp$.
Calculer $A^2-3A$.\\
En déduire que $A$ est inversible, et calculer $A^{-1}$.
\enex

\bgex
\bgen[a)]
\item Résoudre le système d'équations:
  $\la\bgar{rcrcl}2x&+&y&=&7\\-x&+&y&=&1\enar\right.$

\item \'Ecrire ce système sous la forme matricielle 
  $AX=B$ avec $X=\lp\bgar{c}x\\y\enar\rp$ et $A$ et $B$ deux matrices à préciser. 
  
\item Pour $a$ et $b$ deux nombres quelconques, résoudre le système d'équations:
  $\la\bgar{rcrcl}2x&+&y&=&a\\-x&+&y&=&b\enar\right.$.\\
  Exprimer les solutions $x$ et $y$ en fonction de $a$ et $b$.

  On écrira finalement la solution $X=\lp\bgar{c}x\\y\enar\rp$ sous la forme matricielle $X=A'B$ avec $B=\lp\bgar{c}a\\b\enar\rp$, en précisant le matrice $A'$.

  Quel lien y-a-t-il entre les matrices $A$ et $A'$ ?
\enen
\enex


\bgex
Soit $A=\lp\bgar{cc}-1&0\\2&3\enar\rp$, $B=\lp\bgar{cc}4&5\\2&3\enar\rp$, 
$C=\lp\bgar{cc}2&-6\\3&-9\enar\rp$ et $D=\lp\bgar{cc}-0,5&4\\0,25&2\enar\rp$. \\
Déterminer si ces matrices sont inversibles, et calculer le cas échéant leur inverse. 
\enex



\bgex
Soit $A=\lp\bgar{cc}5&2\\-3&-1\enar\rp$ et $B=\lp\bgar{cc}4&3\\2&1\enar\rp$.\\
Montrer que $A$ est inversible et calculer son inverse.\\
Déterminer alors une matrice $M$ telle que $AM=B$. 
\enex



\bgex
Soit le système $\la\bgar{rcrcl}x&+&2y&=&7\\x&-&3y&=&-13\enar\right.$

\bgen[a)]
\item Résoudre ce système. 
\item \'Ecrire ce système sous forme matricielle, puis le résoudre en calculant une matrice inverse.
\enen
\enex



\bgex Soit $A=\lp\bgar{cc} 2 & 3 \\ -1 & 4 \enar\rp$,
$B\lp\bgar{c}8\\7\enar\rp$, et $X=\lp\bgar{c} x \\ y \enar\rp$.\\[.3em]
Détailler le produit $AX$ et l'équation matricielle $AX=B$. 
Resoudre ce système.
\enex


\bgex
Ecrire sous forme matricielle les systèmes, et les résoudre: 
\[ 
\la\bgar{rcrcr}3x &+& 2y &=&9\\-x &+ &3y &= &8\enar\right.\hspace{1cm}
\la\bgar{rcrcr}4x &- &3y &= &6\\-2x &+&9y &= &12\enar\right.\hspace{1cm}
\la\bgar{rcrcr}5x &+& 2y &=&-4\\-2x &+&3y &= &13\enar\right.
\]
\[
\la\bgar{ccccccr} 
2x &+ &3y &+ &z  &= &9\\ 
x  &- &2y &+ &4z &= &-6\\
   &  &x  &- & 2z &= &6
\enar\right.
\hspace{.6cm}
\la\bgar{rcrcrcr}
3x &+& 2y &+& z   &=& 10\\
-x &+& 5y &+& 3z  &=& 18\\
x  &-&  y &-&  z  &=& -4
\enar\right.
\hspace{.6cm}
\la\bgar{rcrcrcr}
2x &+& y &-& 2z   &=& 1\\
2x &-& 3y &+& z  &=& -1\\
-x &+&  y &-&  z  &=& -5
\enar\right.
\]
\enex






\bgex
On considère la matrice $A=\lp\bgar{ccc}0&1&-1\\-3&4&-3\\-1&1&0\enar\rp$. 

Déterminer des réels $a$ et $b$ tels que $A^2=aA+bI_3$.

En déduire que $A$ est inversible et donner son inverse. 
\enex


\bgex
On considère les matrices $A=\lp\bgar{cc}4&-6\\1&-1\enar\rp$ et 
$P=\lp\bgar{cc}3&2\\1&1\enar\rp$
\bgen
\item Montrer que $P$ est inversible et donner son inverse.
\item Montrer que la matrice $P^{-1}AP$ est une matrice diagonale que l'on notera $D$.
\item Calculer la matrice $D^n$ pour tout entier naturel non nul $n$.
\item Déduire des questions précédentes une expression de $A^n$ en fonction de $n$. 

\item On considère les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ telles que $u_0=1$ et $v_0=2$ et,
  pour $n\in\N$, 
  $\la\bgar{rcrcr}u_{n+1}&=&4u_n&-&6v_n\\v_{n+1}&=&u_n&+&v_n\enar\right.$
  \bgen[a)]
  \item On pose $X_n=\lp\bgar{c}u_n\\v_n\enar\rp$. 
    Exprimer sous forme matricelle $X_{n+1}$ en fonction de $X_n$. 

  \item Quelle est la nature de la suite $(X_n)$ ? en déduire une expression de $X_n$ en fonction de $n$.     
  \enen
\enen
\enex

\bgex \textbf{Des complexes sous forme matricielle}\\
\bgen
\item On considère la matrice $i=\lp\bgar{cc}0&-1\\1&0\enar\rp$.
  Calculer $i^2$ et $i^{-1}$. 

\item On note $\C$ l'ensemble des matrice de la forme $\lp\bgar{cc}a&-b\\b&a\enar\rp$, où $a$ et $b$ sont des réels.

  Vérifier que $i$ et $I_2$ appartiennent à $\C$, et que toute matrice de $\C$ peut s'écrire sous la forme $aI_2+bi$, avec $a$ et $b$ réels. 

\item Montrer que toute matrice non nulle de $\C$ est inversible et déterminer son inverse.  
\enen
\enex


\bgex \textbf{Diagonalisation d'une matrice}\\
On considère la matrice $A=\lp\bgar{cc}1&2\\-1&4\enar\rp$.
\bgen
\item Pour tout réel $x$, on pose $P(x)=\det(A-xI_2)$.\\
  Calculer $P(x)$ et déterminer ses racines $x_1$ et $x_2$. 

  Que peut-on dire des matrices $A-x_1I_2$ et $A-x_2I_2$ ?

\item Déterminer un vecteur $X_1$ solution de $(A-x_1I_2)X=0$
  et un vceteur $X_2$ solution de $(A-x_2I_2)X=0$. 
  
\item On forme alors la matrice $P$ dont la première colonne est $X_1$ et la deucième colonne est $X_2$.

  \bgen[a)]
  \item Montrer que la matrice $P$ est inversible et donner son inverse. 
  \item Calculer la matrice $D=P^{-1}AP$.
  \enen

\item Calculer la matrice $D^n$ pour tout entier $n$, et en déduire une expression de $A^n$. 
  
\enen
\enex

\label{LastPage}
\end{document}
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