Matrices

Calcul matriciel et quelques applications


Introduction

Si les matrices sous leur formalisme actuel sont relativement récentes (début du XXe siècle), avec notamment l'appui de Heisenberg, l'intérêt pour les "tableaux de chiffres" est bien plus ancien.
Par exemple, le problème des "carrés magiques" intriguait déjà les mathématiciens chinois en 650 av. J.-C. et les systèmes d'équations linéaires furent complètement résolus trois siècles plus tard. La méthode de Cramer (1750) en est l'équivalent moderne.
En 1925, Heisenberg utilise la théorie des matrices pour formuler la mécanique quantique (alors aussi appelée "mécanique matricielle", et qui est la première définition complète et correcte de la mécanique quantique), ancrant définitivement dans l'esprit des mathématiciens l'intérêt indéniable de ces objets, et convaincant les physiciens de l'efficacité de son utilisation.
Dans les années qui suivent, de nombreux résultats furent découverts, en cryptographie, en calcul, en théorie des graphes, en optique...

La décomposition de matrices s'utilise dans de très nombreux domaines, par exemple dans le but
  • de diminuer le temps de calcul informatique de simulations numériques de phénomènes physiques, écono\-miques,~\dots, et donc de permettre d'en réaliser de plus précises, plus complexes et donc plus réalistes.
  • de séparer le bruit d'une image (décomposition en valeurs singulières), ou plus généralement d'un signal perturbé
  • de repérer les caractéristiques d'un code génétique ou d'étudier automatiquement des données statistiques (analyse en composantes principales)
  • …
Exercice 1: Carrés magiques
  1. Compléter le tableau suivant avec les nombres de 1 à 9 de telle manière que la somme des nombres sur chaque ligne, sur chaque colonne et sur chaque diagonale soit égale à 15.
    2
    5
    4

  2. On peut de même rechercher un carré magique d'ordre 4, les sommes étant cette fois de 34:
    163
    10
    9
    4141

Correction
  1. 276
    951
    438

  2. 163213
    510118
    96712
    415141

    Dans ce carré, la somme des quatre chiffres figurant dans les quatre cases centrales ou encore dans les quatre cases d'angle vaut aussi 34. Carré magique qui apparaît sur Melencolia, gravure de l'artiste peintre allemand Albrecht Dürer (qui a réussi aussi à caser l'année de sa peinture, dans les deux cases centrales de la dernière ligne).

    Un autre carré magique sur la façade de la Passion de la basilique la Sagrada Familia à Barcelone, avec pour somme 33 (l'âge du Christ à sa mort)

Exercice 2: Sudoku
  1. 45
    3472
    26817
    2965
    84
    1672
    94786
    8652
    28


  2. 5679
    485
    1268
    45983
    135
    6194
    8723
    756
    531

Correction
  1. 741529836
    683417592
    952368174
    429871365
    378256419
    165934728
    294783651
    817695243
    536142987


  2. 568714923
    794832156
    312569478
    456928317
    981347562
    237651894
    849176235
    173285649
    625493781

Exercice 3: systèmes d'équations
Résoudre les systèmes:
3x + 2y= 7 −x + y = 1 et   3x − 2y +   z= −6 2y − 3z = 16 −3x + 3y + 2z =   5

Correction
Voir aussi: Rappels et autres systèmes résolus avec correction détaillée.
On trouve pour le premier système: x = 1 et y = 2
Pour le deuxième système, on trouve x = 2, y = 5 et z = −2


Définitions

Définition
Une matrice de dimension n×p est un tableau de réels à n lignes et p colonnes.
De façon générale, on note ai,j le terme de la ligne i et de la colonne j.
On note aussi A = (ai,j) la matrice.

Exemple: A = 23−5 −106 est une matrice de dimension 2×3, dans laquelle, par exemple, a1,1 = 2 et a2,3 = 6

Soit A = 111 et B = 123 deux points de l'espace; A et B peuvent être considérés comme des matrices de dimension 1×3, et le vecteur AB 0 1 2 comme une matrice de dimension 3×1.
Définition: Matrices particulières
Soit M une matrice de dimension n×p:
  • Si n = p, alors M est une matrice carrée d'ordre n
  • Si n = 1, M est un vecteur ligne de dimension p (par exemple, les points A et B précédents)
  • Si p = 1, M est un vecteur colonne de dimension n (par exemple le vecteur AB précédent).
  • Une matrice diagonale d'ordre n est une matrice carrée dont tous les coefficients hors de la diagonale sont nuls.

Exercice 4
Écrire explicitement les matrices:
  1. A la matrice de dimension 3×4 définie par Ai,j = i + j
  2. B la matrice de dimension 5×3 définie par bi,j = 0 si i≥j et bi,j = ij si i<j
  3. C la matrice de dimension 5×3 définie par ci,i = 0 et ci,j = max(i,j) si i≠j

A = 2345 3456 4567 B = 023 006 000 000 000 C = 023 203 330 444 555


Définition: Matrices égales
Deux matrices A et B sont égales si et seulement si elles ont même dimension n×p et que, pour tous 1≤i≤n et 1≤j≤p, on a ai,j = bi,j.

Exemple: abc def = 23−5 −106 est équivalent à a=2, b=3, c=−5, …

Définition: Matrice transposée
Soit A une matrice de dimension n×p. On appelle transposée de la matrice A, notée tA, la matrice de dimension p×n dont les lignes sont les colonnes de A.
Exemple: M= 23−5 −106 alors tM= 2−1 30 −56

Exercice 5
Écrire les matrices transposées de M= 4−2 35 , N= 12 34 56 , P= 1−2 3−4 , Q= −3 2 1 , et R= 1−23−4

tM= 43 25 , tN= 135 246 , tP= 13 −2−4 , tQ= −321 , et tR= 1 −2 3 −4 ,


Opérations sur les matrices

Définition
Soit A et B deux matrices de même dimension n×p.
La somme A+B est la matrice obtenue en additionnant deux à deux les termes qui ont la même position dans A et B.
Si A = (ai,j) et B = (bi,j), alors A+B = (ai,j + bi,j).
Pour un nombre réel k, la matrice C=kA est la matrice C = (ci,j) avec ci,j = kai,j, obtenue en multipliant chaque terme de A par k.

Exercice 6
  1. Calculer A+B avec A= 6−1 −10 −45 et B= 1−3 03 210
  2. Calculer C = 2A−B avec A= 1−13 −103 −451 et B= 2−14 −132 256

A+B= 7−4 −13 −215 et C= 0−12 −1−34 −105−4

Exercice 7
Soit A= 2−3 −110 et B= 6−5 7−12 .
Déterminer la matrice C telle que A+2C = 3B.

On a C=1/2(3B−A) = 8−6 11−23

Exercice 8
Soit les vecteurs de l'espace u = 1 0 −3 et v = 7 −2 1 . Déterminer les coordonnées du vecteur w = 2v−3u.

Un peu de géométrie dans l'espace aussi ! On trouve w = −19 6 −9 .


Produit de matrices

Définition: Produit matriciel
Soit A une matrice de dimension n×p et B une matrice de dimension m×q.
Le produit des matrices A et B est défini lorsque p = m et alors C = AB est la matrice de dimension n×q, définie par
ci,j = p ∑ k=1 ai,kbk,j

Exemples:
  • Le produit de la matrice A de dimension 3×7 et de la matrice B de dimension 7×5 existe et C = AB est de dimension 3×5.
  • Le produit des matrices A de dimension 3×5 et B de dimension 7×5 n'existe pas.
  • Soit A = 23 −5−1 06 de dimension 3×2 et B = 25 −41 de dimension 2×2, alors la matrice produit C = AB est de dimension 3×2 avec
    C = 23 −5−1 06 25 −41 = −813 −6−26 −246

Exercice 9
Soit A = 53−1 423 et B = −204 123 456
Quelle est la dimension de la matrice produit AB ?
Calculer la matrice produit C=AB.

Le produit C = AB d'une matrice 2×3 par une matrice 3×3 est une matrice de dimension 2×3, avec ici C = 3123 6−1140


Exercice 10
Soit A = 12 12 et B = −20 1−1
Quelles sont les dimensions des matrices produits AB et BA ?
Calculer ces deux matrices produits.

Dans les deux sens, le produit AB ou BA d'une matrice 2×2 par une matrice 2×2 est une matrice de dimension 2×2, avec plus précisément AB = 0−2 0−2 et BA = 24 00 .
On remarque que ce produit n'est pas commutatif: AB ≠ BA

Exercice 11
Soit A = 23 10 et B = 11 −32
Déterminer les dimensions des matrices produits AB et BA, puis les calculer.

Dans les deux sens, le produit AB ou BA d'une matrice 2×2 par une matrice 2×2 est une matrice de dimension 2×2, avec plus précisément AB = −78 11 et BA = 33 −4−9 .
On retrouve à nouveau que ce produit n'est pas commutatif: AB ≠ BA

Exercice 12
Soit A = 2−6 3−9 et B = 9−3 3−1
Calculer AB et BA.

AB = 00 00 et BA = 9−27 3−9 .

Remarque: On peut donc avoir pour deux matrices A et B, un produit nul: AB=0, MAIS ni A=0, ni B=0.
Pas d'équation produit nul avec les matrices !


Définition:
Pour une matrice carrée A d'ordre n, on note, pour un entier non nul k,
An = A × A × … × A n matrices

Exercice 13
A = 2−3 4−5 .
Déterminer les dimensions des matrices A2 et A3, puis les calculer.

A est de dimension 2×2 donc A2=A×A, puis A3=A×A×A sont de dimension 2×2, avec A2 = −89 −1213 , et A3 = 20−21 28−29 .



Propriétés:
Soit A, B et C trois matrices et k∈R, alors, lorsque les produits existent, on a les propriétés
  • associativité: (AB)C = A(BC) = ABC et (kA)B = A(kB) = k(AB) = kAB
  • distributivité: A(B+C) = AB+AC et k(A+B) = kA+kB

MAIS, comme on l'a déjà vu, le produit n'est pas commutatif: en général AB≠BA.
En particulier, en général
(A+B)2 = (A+B)(A+B) = A2 + AB + BA + B2 ≠ A2 + 2AB + B2
Les identités remarquables (et d'autres formules) ne restent vraies pour les matrices que lorsque celles-ci commutent.

Exercice 14
On considère les matrices A = 100 011 311 , B = 111 010 100 , et C = 111 121 0−1−1 .
Calculer AB et AC.
En déduire une matrice M telle que AM = 03, où la matrice 03 est la matrice nulle, ne contenant que des 0.

On calcule les produits AB = 111 110 443 , et AC = 111 110 443
On a donc AB = AC ou encore
AB − AC = 0 ⇔ A(B − C) = 0
La matrice M recherchée peut donc être
M = B− C = 000 −1−1−1 111

Exercice 15
Soit a un réel, A = aa aa , et N = 11 11
  1. Calculer NA.
  2. En déduire que N2 = 2N, puis exprimer N3, N4 et N5 en fonction de N.
  3. Quelle conjecture peut-on alors faire au sujet de Np, pour tout entier p ?
    Démontrer cette conjecture.

  1. On calcule NA = 2a2a 2a2a = 2A
  2. Pour a=1 on a A = N, et donc en utilisant le résultat précédent avec a=1, on obtient N2 = NA = 2N.
    De même,
    N3 = N2N = (2N)N = 2N2 = 2(2N) = 4N
    Ensuite,
    N4 = N3N = (4N)N = 4N2 = 4(2N) = 8N
  3. On peut alors conjecturer que Np = 2pN.
    Cette conjecture se démontre par récurrence:
    Initialisation: d'après la question précédente, la propriété est vraie pour p=1 ainsi que p=2 et p=3

    Hérédité: supposons que, pour un certain entier p on ait Np = 2pN.
    On a alors, au rang suivant:
    Np+1 = NpN
    et donc, en utilisant l'hypothèse de récurrence:
    Np+1 = (2pN)N = 2pN2
    et enfin, comme N2 = 2N, on obtient
    Np+1 = 2p2N2 = 2p+1N
    ce qui montre que la propriété est encore vraie au rang p+1 suivant.

    Conclusion: on vient donc de montrer, d'après le principe de récurrence, que pour tout entier p on a Np = 2pN.

Exercice 16
Soit M = −11 −55
Montrer que M2 = 4M. En déduire M3 puis M4, puis Mn pour tout entier n≥1.

On vérifie bien le résultat du produit matriciel M2 = MM = 4M.
Ensuite, comme dans l'exercice précédent, on a
M3 = M2M = (4M)M =4M2 = 4(4M) = 42M
et de même,
M4 = M3M = (42M)M = 42M2 = 42(4M) = 43M
et on peut conjecturer que, pour tout enter n, on a Mn = 4nM.
On démontre cette conjectuire par récurrence.
Initialisation: les calculs précédents initialisent la récurrence n=2 ainsi que n=3 et n=4

Hérédité: supposons que, pour un certain entier n on ait Mn = 4pM.
On a alors, au rang suivant:
Mn+1 = MnM
et donc, en utilisant l'hypothèse de récurrence:
Mn+1 = (4nM)M = 4nM2
et enfin, comme M2 = 4M, on obtient
Mn+1 = 4n4M2 = 4n+1M
ce qui montre que la propriété est encore vraie au rang n+1 suivant.

Conclusion: on vient donc de montrer, d'après le principe de récurrence, que pour tout entier n on a Mp = 4nM.


Inverse d'une matrice

Définition: Matrice unité
On note In la matrice carrée d'ordre n qui comporte des 1 sur sa diagonale, et des zéros ailleurs.

Exemples: I2 = 10 01     I3 = 100 010 001     I4 = 1000 0100 0010 0001
Exercice 17
Soit A = 25 −41 Calculer les produits AI2 et I2A.

On calcule simplement les produits matriciels qui donnent AI2 = I2A = A


La multiplication par la matrice unité, à droite ou à gauche, ne change pas la matrice. C'est la propriété générale suivante:

Propriétés:
Pour toute matrice A tel que le produit existe, on a AIn = InA = A.

On pose aussi par convention A0 = In.

Exercice 18
On considère les matrices U = 1/3 111 111 111 et V = I3 − U.
Calculer les matrices suivantes: a) U2   b) V2   c) UV   d) VU

On trouve, en calculant les produits matriciels, U2 = 1/9 333 333 333 = U
puis
V2 = (I3 − U)2 = I32 − 2U + U2
et donc, comme I32 = I3I3 = I3, et en utilisant le résultat précédent,
V2 = I3 − 2U + U = I3 − U = V

Ensuite,
UV = U(I3 − U) = UI3 − U2 = U−U = 0
De même, enfin, on trouve aussi que VU est la matrice nulle.
Définition: Matrice inverse
Une matrice carrée d'ordre n est dite inversible lorsqu'il existe une matrice B telle que:
AB = BA = In
Dans ce cas, cette matrice B est unique et s'appelle matrice inverse de A, notée B = A−1.

Exemple: Soit A = 12 34 alors A est inversible, avec A−1 = −21 1,5−0,5
En effet, AA−1 = … = I2, et de m\^eme que A−1A = … = I2. (faire les calculs…)
Exercice 19
Soit A = 25 38
Vérifier que B = 8−5 −32 est bien l'inverse de la matrice A

On effectue les calculs matriciels, et on trouve bien que
AB = BA = I2
c'est-à-dire que A est bien inversible , et d'inverse A−1 = B.

Exercice 20
Soit A = 123 01−1 001 et B = 1−25 011 001
  1. Montrer que B est l'inverse de A.
  2. En déduire les solutions de l'équation XA = 112 −213

  1. On effectue les calculs matriciels pour vérifier qu'effectivement, AB = BA = I3
  2. On multiplie cette équation, à droite, par B, ce qui donne
    XAB = 112 −213 B
    où XAB = XI3 = X et il reste à calculer le produit matriciel de droite:
    X = 112 −213 1−25 011 001
    et on trouve donc,
    X = 1−18 −25−6

Exercice 21
On considère la matrice A = 41 32
Calculer 6A−A2. En déduire que la matrice A est inversible et donner sa matrice inverse.

On calcule
6A−A2 = 50 05
c'est-à-dire que
6A−A2 = 5I3

On cherche à montrer que A est inversible, c'est-à-dire qu'il existe une matrice B telle que
AB = BA = I3
Dans le résultat du calcul matriciel précédent, on peut isoler la matrice unité pour obtenir:
6A−A2 = 5I3 ⇔ I3 = 1/5(6A−A2)
et enfin en factorisant on obtient
1/5A(6I3−A) = I3
et on peut alors identifier la matrice B recherchée:
B = A−1 = 1/5(6I3−A)

Exercice 22
On considère la matrice A −111 1−11 11−1
Vérifier que A2 = 2I3−A, et en déduire que la matrice A est inversible et donner sa matrice inverse.

On a d'une part A2 = 3−1−1 −13−1 −1−13 et d'autre part, 2I3−A = 3−1−1 −13−1 −1−13 et on vérifie donc bien ainsi l'égalité A2 = 2I3−A.
Pour montrer que A est inversible, on cherche une matrice B telle que AB = I3.
On isole donc la matrice unité dans la relation précédente,
1/2(A2+A) = I3
soit aussi en factorisant par A,
1/2A(A+I3) = I3
et on identifie donc bien la matrice inverse B recherchée:
B = 1/2(A+I3) = A−1
soit encore,
A−1 = 1/2 011 101 110

Exercice 23
Soit A 01−1 −12−1 1−12
Calculer A2 − 3A.
En déduire que la matrice A est inversible et calculer A−1.

On a A2 = −23−3 −34−3 3−34 et donc
A2 − 3A = −200 0−20 00−2
et on trouve donc ainsi l'égalité
A2 − 3A = −2I3
.
Pour montrer que A est inversible, on cherche une matrice B telle que AB = I3.
On isole donc la matrice unité dans la relation précédente,
1/−2(A2−3A) = I3
soit aussi en factorisant par A,
−1/2A(A−3I3) = I3
et on identifie donc bien la matrice inverse B recherchée:
B = −1/2(A−3I3) = A−1
soit encore,
A−1 = −1/2 −31−1 −1−1−1 1−1−1

Exercice 24
  1. Résoudre le système d'équations: 2x + y = 7 −x + y = 1
  2. Écrire ce système sous la forme matricielle AX = B avec X = x y et A et B deux matrices à préciser.
  3. Pour a et b deux nombres quelconques, résoudre le système d'équations: 2x + y = a −x + y = b
    Exprimer les solutions x et y en fonction de a et b.
    On écrira finalement la solution X = x y sous la forme matricielle X=A'B avec B= a b , en précisant le matrice A'.
    Quel lien y-a-t-il entre les matrices A et A' ?

  1. Voir aussi: Rappels et autres systèmes résolus avec correction détaillée.
    En soustrayant la 2ème équation à la 1ère, on trouve 3x = 6 soit x = 2.
    Ensuite, en substituant dans la 2ème équation par exemple, on trouve −2+y = 1 soit y = 3.
  2. Ce système s'écrit sous forme matricielle AX = B avec les matrices A = 21 −11 , X = x y , et le second membre B = 7 1
  3. On résout le système de la même façon qu'à la 1ère question: on soustrait la 2ème équation à la 1ère pour obtenir 3x = a−b, soit x = 1/3a−1/3b et on trouve alors en substituant dans la 2ème équation,
    y = b + 1/3(a−b) = 1/3a + 2/3b

    On peut écrire cette solution sous la forme matricielle X=A'B avec X= x y , B= a b , et la matrice A' = 1/3 1−1 12

    Si la matrice A est inversible, on a en multipliant à gauche par la matrice inverse
    AX = B ⇔ X = A−1B
    qui est exactement la relation qu'on a a trouvée précédement, et qui montre donc que la matrice A est effectivement inverse avec pour inverse
    A−1 = A' = 1/3 1−1 12


Définition: déterminant d'une matrice d'ordre 2
Pour une matrice carrée A d'ordre 2, A = ab cd , on appelle déterminant de A le nombre
det(A) = ad−bc


Propriétés: Inverse d'une matrice d'ordre 2
La matrice A = ab cd est inversible si et seulement si det(A) ≠ 0, et alors dans ce cas
A−1 = 1/det(A) d−b −ca

Exercice 25
Soit A = −10 23 , B = 45 23 , C = 2−6 3−9 , et D = −0,54 0,252 .
Déterminer si ces matrices sont inversibles, et calculer le cas échéant leur inverse.

On a det(A) = −1×3−2×0 = −3≠0 et la matrice A est donc inversible, avec A−1 = 1/−3 30 −2−1 .

On a det(B) = 4×3−2×5 = 2 ≠0 et la matrice B est donc inversible, avec B−1 = 1/2 3−5 −24 .

On a det(C) = 2×(minus;9)−3×(−6) = 0 et la matrice C n'est donc pas inversible.

On a det(D) = −0,5×2−0,25×4 = 0 et la matrice D n'est donc pas inversible non plus.



Voir aussi:
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