Inverse d'une matrice avec des paramètres

Exercice corrigé - Maths expertes, terminale générale

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Soit la matrice $A=\lp\begin{array}{cc}a&1\\b&2\enar\rp$. Déterminer les éventuelle valeurs des nombres réels $a$ et $b$ pour lesquels la matrice $A$ est inversible avec $A^{-1 }=A$.
Donner alors cette matrice $A^{-1}$.


Correction

Correction

Si $A$ est inversible avec $A^{-1}=A$ alors
\[AA^{-1}=A^2=I_2\]

On calcule le produit:
\[A^2=\lp\begin{array}{cc}a&1\\b&2\enar\rp\lp\begin{array}{cc}a&1\\b&2\enar\rp =\lp\begin{array}{cc}a^2+b&a+2\\ab+2b&b+4\enar\rp\]

Ainsi $A^2=I_2=\lp\begin{array}{cc}1&0\\0&1\enar\rp$ lorsque
\[\la\begin{array}{rcl} a^2+b&=&1\\ a+2&=&0\\ ab+2b&=&0\\ b+4&=&1 \enar\right.\]

La 2ème et la 4ème équation donnent directement $a=-2$ et $b=-3$.
Comme on vérifie que ces valeurs conviennent aussi pour les deux autres équations:
\[a^2+b=(-2)^2+(-3)=1\]

et
\[ab+2b=-2(-3)+2(-3)=0\]

on en déduit que $A$ est bien inversible avec $A^{-1}=\lp\begin{array}{cc}-2&1\\-3&2\enar\rp$.


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